הטלה סטריאוגרפית

בגאומטריה, הטלה סטריאוגרפית היא העתקה שמקשרת נקודות על ספירה לנקודות על מישור המשיק לה. ההעתקה נעשית על ידי שרטוט קו ישר שמחבר כל נקודה על הספירה עם נקודת ההטלה N (הקוטב), והמפגש של קו זה עם המישור הוא תמונת הנקודה. נקודת ההטלה עצמה אינה מועתקת; אפשר להתייחס אליה כאל "נקודת האינסוף" שמתבטאת כהתקרבות של נקודות על הספירה אליה.

ההטלה מספקת דרך נוחה לתאר את הספירה בעזרת קואורדינטות במישור, במקום לתאר נקודות ישירות על הכדור. מבחינה טופולוגית זו התאמה בין הספירה ללא נקודה אחת לבין המרחב האוקלידי n-ממדי; כלומר יש הומאומורפיזם (התאמה ששומרת על המבנה הטופולוגי).

תכונה חשובה של ההטלה היא קונפורמיות, היא שומרת על זוויות. זווית היא הצורה שבה שני קווים נפגשים, ולכן הצורה המקומית של דפוסים נשמרת. עוד מאפיין: מעגלים על הספירה עוברים למעגלים במישור, אלא אם המעגל עובר דרך נקודת ההטלה; במצב כזה הוא מומר לקו ישר. אפשר לחשוב על קווים ישרים כמעגלים ברדיוס אינסופי או כמעגלים שעוברים דרך נקודת האינסוף.

בהקשר היסטורי ומעשי, ההטלה הסטריאוגרפית שימשה כבר אצל האסטרונומים היוונים כדי להטיל את כיפת השמים על מישור ולנתח תנועות כוכבים. היום היא נפוצה באנליזה מרוכבת (ענף של מתמטיקה), בכתיבת מפות (קרטוגרפיה), בגאולוגיה ובצילום. בקטגוריית ההטלות למפות היא שומרת על זוויות אך לא על שטחים, ולכן מתאימה לנווטים יותר מאשר לניתוחים סטטיסטיים של שטחים.

כאשר מרכז ההטלה הוא הקוטב של כדור הארץ, ההטלה שולחת מרידיאנים לקרניים היוצאות מהראשית, ואת המעגלים של הקווים הרוחביים, למעגלים שמרכזם בראשית המישור.

הטלה סטריאוגרפית היא דרך להראות נקודות על כדור על מישור. בוחרים נקודה על הכדור כמרכז ההטלה. מכל נקודה על הכדור מציירים קו דרך מרכז ההטלה. הנקודה שבה הקו פוגע במישור היא התמונה של אותה נקודה.

הטלה זו לא מעבירה את נקודת ההטלה. אפשר לקרוא לה "נקודת האינסוף". נקודות שקרובות אליה נשלחות למקומות רחוקים על המישור.

הטלה שומרת על זוויות. זווית היא הדרך שבה שני קווים נפגשים. היא גם משנה מעגלים כך שאם המעגל לא עבר דרך נקודת ההטלה הוא יישאר מעגל במישור. אם המעגל עבר דרך נקודת ההטלה הוא יהפוך לקו ישר.

הטלה זו שימשה את האסטרונומים העתיקים כדי להטיל את השמיים על מישור. היום משתמשים בה במתמטיקה, במפות ובצילום. במפות היא טובה כי היא שומרת על כיוונים, אך לא שומרת על גדלים של שטחים.

אם מרכז ההטלה הוא הקוטב של כדור הארץ, הקווים שנקראים מרידיאנים יוצאים מהנקודה הראשית במישור, והקווים של הרוחב הופכים למעגלים שמרכזם שם.