המילטוניאן

המילטוניאן היא פונקציה שמאפיינת מערכת פיזיקלית שלמה. בדרך כלל היא משקפת את האנרגיה של המערכת, כתובה כפונקציה של המשתנים הקנוניים שלה, קואורדינטות מוכללות ומשתני התנע הצמודים להן. "תנע" הוא המידה של התנועה של גוף, בדרך כלל המסה כפול המהירות.

הצורה של ההמילטוניאן קובעת איך המערכת מתפתחת בזמן. כלומר, אם יודעים את H אפשר לקבל משוואות שמספרות מה יהיה המיקום והתנע של הגוף בכל רגע. השם נגזר מויליאם רואן המילטון, שחיבר את הגישה הזאת.

דוגמה פשוטה: מתנד הרמוני חד־ממדי. הכוח הוא F = -mω^2 x. האנרגיה הפוטנציאלית היא U = 1/2 m ω^2 x^2. האנרגיה הקינטית נראית כ־T = p^2/(2m), כאשר p=mv הוא התנע. ההמילטוניאן במקרה זה הוא H(p,x)=p^2/(2m)+1/2 m ω^2 x^2. בעזרת משוואות המילטון מוצאים p(t) ו־x(t).


בגישה הקלאסית, ההמילטוניאן מתקבל כהתמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן L (הפונקציה שמתארת את היחס בין אנרגיה קינטית ופוטנציאלית). הנוסח הכללי הוא:

H(q,p,t)=Σ_i p_i \,\dot{q}_i - L(q,\dot{q},t),

כאשר p_i נקבע כנגזרת של הלגראנז'יאן לפי המהירות המדויקת של q_i. רק לעתים ההמרה הזו אפשרית; כשהאנרגיה הקינטית היא צורה ביליניארית של המהירויות, H שווה לאנרגיה הכוללת.


כדי למצוא H עבור מערכת צריך:

1) למצוא את הלגראנז'יאן של המערכת.
2) לחשב את התנאים המוכללים p_i = ∂L/∂\dot{q}_i ולפתור עבור \dot{q}_i כפונקציה של p_i.
3) להציב בביטוי של H.


משוואות המילטון מספקות את חוקי התנועה של המערכת. עבור כל זוג (q_i,p_i) הן:

\dot{q}_i = ∂H/∂p_i,
\dot{p}_i = -∂H/∂q_i.

משתמשים בהן כדי לחשב את התפתחות המערכת. הן שקולות למשוואות אוילר, לגראנז'. את המשוואות האלה אפשר להוציא גם מתוך עקרון הפעולה המינימלית, דרך פונקציית הפעולה S[q,p].


ההמילטוניאן קובע את הזמן שבו גדלים פיזיקליים משתנים. אם U הוא גודל כלשהו, הנגזרת של U לפי הזמן ניתנת על ידי צירוף של נגזרות חלקיות של U ושל H, וניתן לכתוב זאת גם בעזרת סוגרי פואסון {U,H}. משוואה זו חשובה למציאת קבועי תנועה ולחיבור בין המכניקה הקלאסית לקוונטית.


בדוגמאות קרטזיות, גליליות וכדוריות מקבלים ביטויים שונים ל־H, אך המבנה הכללי נשמר: סכום של מחלקות של p בריבוע חלקי 2m ועוד פוטנציאל V. עבור חלקיק חופשי V=0, ולכן H=p^2/(2m).


בקוונטום, ההמילטוניאן הוא אופרטור הרמיטי. הוא מייצג את האנרגיה ומכתיב את ההתפתחות בזמן של מצב המערכת דרך משוואת שרדינגר:

i\hbar d/dt |ψ\rangle = H |ψ\rangle.

אם H לא תלוי בזמן, פתרון המשוואה הוא |ψ(t)\rangle = exp(-iHt/\hbar)|ψ(0)\rangle. כלומר H יוצר את ההתפתחות בזמן. בבסיס המקום, אופרטור התנע מוצג כ־(\hbar/i)∇, וההמילטוניאן הופך ל־H = -(\hbar^2/2m)∇^2 + V(r).

בשנים האחרונות חוקרים גם המילטוניאנים שאינם הרמיטים, כלומר אופרטורים שלא שומרים על התכונה הזו, ויש לכך השלכות מתקדמות בפיזיקה תאורטית.

המילטוניאן הוא ביטוי שמספר את האנרגיה של מערכת פיזיקלית. הוא תלוי במיקום ובתנע של הגופים. תנע זה מסה כפול מהירות.

אם יודעים את ההמילטוניאן, אפשר לחזות איך המערכת תתנהג בזמן. המשמעות היא לדעת איפה הגוף יהיה ואיזו מהירות תהיה לו בעתיד.


למתנד הרמוני, האנרגיה היא סsum של אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית. במקרה הזה ההמילטוניאן נראה כמו סכום של שני ביטויים פשוטים.


קודם מוצאים פונקציה שנקראת לגראנז'יאן. אחר כך מחשבים את "התנע הקנוני". בסוף עושים שינוי מתמטי שקוראים לו התמרת לז'נדר, וכך מקבלים את ההמילטוניאן.


משוואות מיוחדות, שנקראות משוואות המילטון, אומרות איך המיקום והתנע משתנים בזמן. הן נותנות את כל מה שצריך כדי לעקוב אחרי התנועה.


במכניקת הקוונטים ההמילטוניאן הוא כלי שגורם למצב הקוונטי להשתנות עם הזמן. הוא משפיע על גל המסרשינגר (מצב הקוונטי) וגורם לו להתפתח.