העתקה נורמלית

אופרטור נורמלי (או העתקה נורמלית) הוא העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית לעצמו המתחלפת עם ההעתקה הצמודה שלה.

הגדרה פורמלית: T נורמלית אם TT^* = T^*T. כאן T^* היא ההעתקה הצמודה של T, כלומר ההעתקה שמקיימת את הזהות ⟨x,Ty⟩ = ⟨T^*x,y⟩ לכל x,y במרחב. מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב שבו יש מכפלה פנימית, כלומר דרך למדוד אורכים וזוויות.

אם T לכסינה (ניתנת לפירוק לפי מרחבים עצמיים V_i שבהם T פועלת כמו כפל ב־λ_i), אז העתקה S מתחלפת עם T בדיוק אם S שומרת על כל מרחב עצמי V_i. במצב בו לכל ערך עצמי יש מרחב מימד 1 (ערכים שונים), כל S שמתחלפת עם T לכסינה ביחד עם T, כלומר קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים.

- לכל סקלר α גם T−αI נורמלית.
- לכל וקטור v מתקיים ||Tv||^2 = ||T^*v||^2.
- אם Tx = λx אז T^*x = λ̄ x (λ̄ הוא המספר המרוכב הצמוד ל־λ).
- וקטורים עצמיים המשויכים לערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים (מאונכים) זה לזה.

משפט מרכזי: בעבור מרחב מכפלת פנימית סופי מעל הממשקים המרוכבים, T נורמלית אם ורק אם היא לכסינה אוניטרית. כלומר יש בסיס אורתונורמלי שבו המטריצה של T היא אלכסונית. הרעיון בהוכחה: אם יש הצגה אלכסונית אז ברור שהמכפלה עם הצמודה מתחלפת. בכיוון ההפוך משליכים על הצגה משולשית (כי הפולינום האופייני מתפצל מעל C), מפעילים תהליך גרם, שמידט כדי להשיג בסיס אורתונורמלי, ושוויון TT^*=T^*T מאלץ שהייצוג יהיה אלכסוני.

בניסוח מטריצי: מטריצה A במטריצות המורכבות היא נורמלית אם ורק אם היא לכסינה אוניטרית. בגרסה הממשית, מטריצה סימטרית היא לכסינה אורתוגונלית.

אופרטור נורמלי הוא העתקה מיוחדת במרחב שמודד אורכים וזוויות. (מרחב מכפלה פנימית הוא זה שמודד אורכים וזוויות.)

העתקה צמודה היא העתקה קשורה ל־T. (היא עונה על חוק שמקשר בין זוג וקטורים.)
העתקה נורמלית מתחלפת עם הצמודה שלה.

אם T מחלק את המרחב לחלקים קטנים כך שבכל חלק היא כופלת בערך קבוע, אז העתקה S שמתחשבת בחלוקה הזו מתחלפת עם T.
אם כל ערך כזה ייחודי, אז אפשר למצוא בסיס של וקטורים שהם עצמיים גם ל־T וגם ל־S.

וקטור עצמי הוא וקטור שהעתקה T רק כופלת אותו בערך אחד. (זהו ערך עצמי.)
וקטורים שונים של ערכים שונים עומדים בזווית של 90 מעלות זה אל מול זה.
אם Tx = λx אז גם הצמוד של T כופל ב־λ המושלם. (λ המושלם הוא המספר שהוא כמו λ אבל עם סימן מיוחד.)

במרחבים סופיים עם מספרים מורכבים, אופרטור נורמלי ניתן להצגה ככפל אלכסוני בבסיס אורתונורמלי. (כלומר, אפשר למצוא בסיס של וקטורים ישרים ונוחים, שבו הפעולה פשוטה.)
גם מטריצה סימטרית עם מספרים ממשיים אפשר להציגה בככסון בעזרת מטריצה אורתוגונלית.