ספקטרום (מתמטיקה)

בספקטרום של אופרטור חסום T על מרחב בנך H רוכזות כל הערכים המורכבים \(\lambda\) עבורם האופרטור \(T-\lambda I\) אינו הפיך. "אופרטור" כאן הוא פונקציה ליניארית בין וקטורים. "הפיך" פירושו שיש לה הופכי שהוא גם אופרטור חסום. את פונקציית הרסולבר מגדירים כ־\(R_T(\lambda)=T-\lambda I\) ואת ההופכי, אם קיים, כ־\(\Gamma_T(\lambda)=(T-\lambda I)^{-1}\). נקודות שבהן ההופכי קיים נקראות נקודות רגילות, וקבוצתן מסומנת \(\rho(T)\). המשלים שלה הוא הספקטרום \(\sigma(T)\).


הספקטרום הוא תמיד קבוצה לא ריקה וסגורה וחסומה (כלומר קומפקטית). זה מקשר אופרטורים, שעשויים לפעול על מרחבים אינסופיים, למישור המרוכב ומאפשר שימוש באנליזה מרוכבת.


רעיון ההוכחה: אם הספקטרום היה ריק אז הרסולבר היה פונקציה אנליטית וחסומה על כל המישור. לפי משפט ליוביל פונקציה כזו קבועה, והתוצאה מובילה לסתירה. לכן הספקטרום חייב להכיל נקודות.


עזרת פיתוח ניומן (סדרת חזקות של אופרטור) מראה שההופכי של \(T-\lambda I\) קיים כש\(|\lambda|>\|T\|\). לכן כל נקודת ספקטרום נמצאת בתוך המעגל הרדיוסי שבו \(|\lambda|\le\|T\|\). הרדיוס הספקטרלי \(r(T)=\sup\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)\}\) מכוסה על ידי הנורמה של T.


איפיון בסיסי מאלגברה ליניארית: אם אופרטור הפיך, אז כל אופרטור קרוב מספיק אליו גם הפיך. לכן קבוצת הנקודות הרגילות פתוחה, ומשכך הספקטרום הוא קבוצה סגורה.


סוגי נקודות בספקטרום מחולקות לשלושה חלקים עיקריים: ספקטרום נקודתי, רציף ושארית. לכל סוג יש הסבר אינטואיטיבי על סיבה אי־הפיכותו של \(T-\lambda I\).


ספקטרום נקודתי \(\sigma_p(T)\) הוא פשוט קבוצת הערכים העצמיים. ערך \(\lambda\) שייך אליו אם קיימת וקטור לא אפס \(v\) עם \(Tv=\lambda v\). זהו מצב שבו \(T-\lambda I\) לא חד־חד־ערכי, כלומר גרעינו אינו אפס.


נקודה שייכת לספקטרום הרציף אם \(T-\lambda I\) חד־חד־ערכי אך תמונתו אינה כל המרחב, והצפיפות שלה שווה לכל H (הדחיסה של התמונה שווה ל־H). יש גם תיאור עם "וקטורים מקורבים" (approximate eigenvectors): סדרת יחידות \(x_n\) כך ש\(\|T x_n-\lambda x_n\|\to 0\). זאת אומרת \(\lambda\) רוצה להיות ערך עצמי, אך ה"וקטור" המתאים לא נמצא במרחב.


כאן \(T-\lambda I\) גם חד־חד־ערכי, אך תמונתו אינה צפופה ב־H. כלומר הוא אינו על וההופכי אינו מוגדר על כל המרחב.


לפי משפט מיפוי הספקטרום, עבור פולינום מרוכב p מתקיים \(\sigma(p(T))=p(\sigma(T))\). אם \(T\) הפיך אז \(\sigma(T^{-1})=\{\lambda^{-1}:\lambda\in\sigma(T)\}\).


ניתן לפתח עוד תכונות וקשרים בין נורמות, רדיוס ספקטרלי והתנהגות של הפונקצית הרסולבר, אך עיקר הדברים הם המושגים והתכונות המובילים של הספקטרום.

הספקטרום של אופרטור הוא קבוצת מספרים מורכבים \(\lambda\).
המספרים האלה הם אלה שגורמים ל־\(T-\lambda I\) לא להיות הפיך. "אופרטור" הוא חוק שפועל על וקטורים. "הפיך" אומר שקיים חוק שמחזיר את הפעולה אחורה.


הספקטרום תמיד מכיל לפחות נקודה אחת. הוא גם סגור (כולל גבולות) וחסום (נמצא בתוך עיגול גדול).


אם הרסולבר היה מוגדר לכל המספרים הייתה תוצאה שמנוגדת לכלל. לכן חייבת להיות נקודה בספקטרום.


טור חזקות של אופרטור עובד מחוץ לעיגול שבו \(|\lambda|>\|T\|\). לכן כל נקודות הספקטרום נמצאות בתוך העיגול הזה.


יש שלושה סוגים עיקריים של נקודות בספקטרום.


זהו המקום של הערכים העצמיים. ערך עצמי הוא מספר שגורם ל־Tv=\lambda v עם וקטור לא אפס v.


כאן אין וקטור אמיתי שממלא \(Tv=\lambda v\). יש רק וקטורים שמקרבים את זה.


כאן אין וקטור כזה, והתמונה של \(T-\lambda I\) אינה צפופה במרחב.


עבור פולינום p אפשר למצוא את הספקטרום של p(T) על ידי החלת p על הספקטרום של T. אם T הפיך, הספקטרום של T^{-1} הוא ההפכים של המספרים בספקטרום של T.