ערך עצמי

בערך העצמי (eigenvalue) של העתקה ליניארית או מטריצה מדובר בסקלר (מספר), מסומן בדרך כלל λ, שעבורו קיים וקטור שאינו אפס (וקטור עצמי) שמקיים T(v)=λ v. וקטור (חץ עם כיוון ואורך) כזה נחווה רק כ"מתוח" או "מוקם" על ידי ההעתקה, בלי להסתובב לכיוון אחר. אם λ שלילי, הכיוון מתהפך; אם מורכב, ההתנהגות יכולה להיות שונה באופן מתמטי.

יהי V מרחב וקטורי ו-T:V→V העתקה ליניארית. אם קיים v≠0 וסקלר λ כך ש-T(v)=λ v, אז λ נקרא ערך עצמי ו-v נקרא וקטור עצמי השייך ל-λ. באותו אופן מגדירים ערכים ווקטורים עצמיים של מטריצה A בדרום “Av=λ v”.

כדי למצוא וקטורים עצםיים עבור סקלר λ כותבים (A-λ I)v=0. זוהי מערכת הומוגנית, ולפי המתמטיקה יש לה פתרון לא טריוויאלי בדיוק כאשר “det(A-λ I)=0”. אוסף כל הווקטורים שמקיימים זאת נקרא המרחב העצמי של λ. המרחב הזה הוא מרחב וקטורי, וממדו הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים שמקושרים ל-λ.

וקטורים עצמאיים ששייכים לערכים עצמיים שונים בלתי-תלויים ליניארית. עבור מטריצות מיוחדות שנקראות נורמליות, הוקטורים העצמיים גם אורטוגונליים (מאונכים) זה לזה.

הריבוי האלגברי הוא כמות הפעמים ש-λ מופיע כשורש של הפולינום האופייני. הריבוי הגאומטרי הוא ממד המרחב העצמי של λ, כלומר מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים לשם. תמיד הריבוי האלגברי גדול או שווה לריבוי הגאומטרי.
מטריצה ניתנת ללכסון (להפוך לצורה פשוטה) אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים והריבויים האלגבריים שווים לריבויים הגאומטריים. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים, המטריצה כוסינה.

מציאת ערכים עצמיים מסייעת לפשט תיאורים של העתקות ומערכות. אפשר למצוא אותם על ידי חישוב הפולינום האופייני ופתירתו, אך עבור מטריצות גדולות זה קשה מאוד. נילס אבל ופאולו רופיני הראו שאין נוסחה כללית לפתרון פולינומים ממעלה חמישית ומעלה, ולכן משתמשים בשיטות נומריות.

בשיטות נומריות מחשבים קירובים לערכים ולווקטורים העצמיים. האלגוריתם המוכר הוא אלגוריתם QR. שיטה פשוטה וקדומה יותר היא שיטת החזקה (power method), שהוצגה על ידי פון מיזס, ומחשבת את הערך העצמי הגדול ביותר על ידי חזרות עם נרמול.

לאופרטורים על מרחבים לא-סופיים מגדירים את הספקטרום, שהוא הכללה של ערכים עצמיים. הספקטרום כולל את כל הערכים t שבהם האופרטור A-tI אינו הפיך וחסום.

המושגים הופיעו בהקשרים של משוואות דיפרנציאליות ותבניות ריבועיות. במאה ה-18 אוילר ולגראנז' חקרו צירי אינרציה והראו את חשיבות הווקטורים העצמיים. קושי הרחיב את הרעיון לממדים גדולים יותר. פורייה השתמש ברעיונות אלה כדי לפתור את משוואת החום. בתחילת המאה ה-20 הילברט חקר אופרטורים אינטגרליים והשתמש בפועל במונח הגרמני "eigen". באותה תקופה פותחו גם שיטות חישוביות ראשונות כמו שיטת החזקה.

ערך עצמי הוא מספר שמראה איך העתקה ליניארית משפיעה על וקטור. וקטור הוא חץ שמראה כיוון ואורך. סקלר הוא פשוט מספר.

יש העתקה שמחליפה וקטור בווקטור אחר. אם העתקה רק ממתיחה או מכווצת את החץ, בלי לשנות את הכיוון שלו, אז החץ הוא וקטור עצמי. המספר שבו הוא נמתח נקרא ערך עצמי.

כל הווקטורים שאותו מספר מיידע אותם בּואו יחד למרחב העצמי. כדי לבדוק אם קיים כזה וקטור פותרים משוואה מיוחדת. אם יש פתרון שאינו אפס, יש ערך עצמי.

הריבוי האלגברי אומר כמה פעמים המספר מופיע בתרגיל מיוחד. הריבוי הגאומטרי אומר כמה וקטורים שונים אפשר למצוא עבורו. הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי.

לפעמים קשה למצוא ערכים בעצם על ידי חישוב מדויק. אז משתמשים בשיטות שמקרבות את הערכים. שיטת החזקה (power method) היא דרך פשוטה לחפש את המספר הגדול ביותר. יש גם שיטות מתקדמות יותר כמו אלגוריתם QR.

הנושא התחיל כשאוילר ולגראנז' בחנו צירים בגופים קשיחים. פורייה השתמש ברעיונות אלה לפתרון בעיות חום. הילברט וקוראים אחרים המשיכו לחקור את הנושא והמציאו שמות כמו "eigen".