הרחבה ספרבילית

בהרחבה ספרבילית של שדות משמעותו שהפולינום המינימלי של כל איבר בה הוא ספרבילי. משמעות "ספרבילי": כל שורשיו בשדה הפיצול, השדה שבו מופיעים כל השורשים, שונים זה מזה. למושג חשיבות בתורת גלואה: כל הרחבת גלואה היא ספרבילית. לכל שדה קיים גם סגור ספרבילי, היא ההרחבה האלגברית הספרבילית הגדולה ביותר שלו. בנוסף יש מושג אלגברי רחב יותר, אלגברה ספרבילית.

פולינום אי-פריק f(x) נקרא ספרבילי אם בשדה הפיצול שלו כל השורשים שונים. עבור פולינומים לא אי־פריקים יש שתי הגדרות בשימוש: לפי אחת מספיק שכל הגורמים האי־פריקים יהיו ספרביליים; לפי השנייה דורשים גם שהגורמים האלו יהיו שונים זה מזה. כך, למשל x^n עשוי להיחשב ספרבילי לפי ההגדרה החלשה, אך לא לפי החזקה.

קיים מבחן פשוט: פולינום אינו ספרבילי אם ורק אם יש לו גורם משותף לא־טריוויאלי עם הנגזרת הפורמלית שלו f'(x). הנגזרת הזו היא הכלי האלגברי לזיהוי שורשים כפולים. מכאן נובע שאם השדה בעל מאפיין 0 (כלומר לא מוסיף סיבוכי חיבור כמו אפס לאחר חיבור חוזר של 1), אז כל פולינום אי־פריק הוא ספרבילי. לכן בעיות ספרביליות עולות בעיקר בשדות בעלי מאפיין חיובי p.

דוגמה טיפוסית לפולינום אי־פריק שאינו ספרבילי היא x^p - a בשדה בעל מאפיין p (p מספר ראשוני). באופן כללי, כל פולינום מהצורה f(x)=g(x^p) אינו ספרבילי; במקרה כזה f'(x)=0. ההיפך גם נכון: אם f' שווה אפס בשדה ממאפיין p אז f מתבטא כ-g(x^p), ולכן יש בו שורשים חוזרים.

איבר a בהרחבה מעל F נקרא איבר ספרבילי אם הפולינום המינימלי שלו (פולינום אי־פריק שמחסל אותו) הוא ספרבילי. מאפייני ספרביליות של הרחבות: כל הרחבת ביניים של הרחבה ספרבילית היא ספרבילית; הספרביליות היא טרנזיטיבית; והרחבה ספרבילית סופית היא פשוטה, כלומר נוצרת על ידי איבר אחד E=F(θ).

הרחבה ספרבילית היא הרחבה של שדה שבה לכל איבר יש פולינום מינימלי עם שורשים שונים. שורש של פולינום הוא מספר שמאפס אותו. שדה פיצול הוא שדה שבו מופיעים כל השורשים.

פולינום אי־פריק נקרא ספרבילי אם אין לו שורשים חזרהיים, כלומר אין אותו שורש שחוזר כמה פעמים. לפעמים משתמשים בהגדרה קלה יותר שדורשת רק שכל הגורמים האי־פריקים יהיו ספרביליים.

אפשר לבדוק ספרביליות בעזרת הנגזרת הפורמלית של הפולינום, שנקראת f'. אם הפולינום ו־f' משתפים גורם משותף, יש שורש שחוזר. בשדות עם מאפיין 0 (כמו המספרים הרציונליים) כל פולינום אי־פריק הוא ספרבילי. בשדות עם מאפיין p (מספר ראשוני) יש דוגמאות של פולינומים לא ספרביליים, למשל x^p - a.

איבר נקרא ספרבילי אם הפולינום המינימלי שלו הוא ספרבילי. תכונות חשובות: תת־הרחבות נשמרות ספרביליות, הספרביליות עוברת ברצף, והרחבה ספרבילית סופית נוצרה על ידי איבר יחיד.