נגזרת כיוונית
הנגזרת הכיוונית אומרת כמה פונקציה משתנה כשננוע בכיוון של חץ (וקטור). וקטור הוא חץ שמראה כיוון ואורך. לוקחים נקודה x ומוסיפים מעט מהווקטור v, ובודקים את השינוי של הפונקציה ואז מחלקים בגודל התנועה. האורך של הווקטור נקרא נורמה. אם הגבול הזה קיים, אז הפונקציה גזירה בכיוון הזה. הנגזרת בכיוון שומרת על חי...
נגזרת (כימיה)
נגזרת כימית היא חומר שדומה לחומר אחר. תרכובת היא חומר שעשוי מאטומים. לפעמים מחליפים אטום או חלק קטן שנקרא קבוצה פונקציונלית (חלק שנותן לתרכובת תכונות). אם עושים זאת אפשר, לפחות בתיאוריה, לחזור לחומר המקורי. לרוב החומרים יהיו דומים, אבל יהיו גם הבדלים....
נגזרת חלקית
נגזרת חלקית היא מדידה של שינוי בפונקציה עם כמה מספרים. משאירים את כל המספרים האחרים קבועים. כך רואים את ההשפעה של רק משתנה אחד. אם יש פונקציה של הרבה מספרים, מנגבים את כולם חוץ מאחד. הנגזרת החלקית היא קצב השינוי כשהמשתנה הזה משתנה מעט. e_i הוא וקטור יחידה, כלומר כיוון אחד בלבד. למשל f(x,y)=x^y. אם...
נגזרת
הנגזרת אומרת כמה פונקציה משתנה כשמשנים מעט את הקלט. הקלט יכול להיות זמן או מספר אחר. הנגזרת בפיזיקה לדוגמה במהירות: המהירות היא השינוי של המקום לפי הזמן. התאוצה היא שינוי המהירות לפי הזמן. הנגזרת היא הגבול של יחס השינוי (השינוי בערך חלקי השינוי בקלט) כשהשינוי קטן מאוד. זה גם השיפוע של המשיק לעקו...
כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה
כלל לייבניץ נקרא גם כלל המכפלה. הוא עוזר למצוא את הנגזרת של מכפלת פונקציות. נגזרת היא מדד לשינוי. הכלל הפשוט: (f·g)' = f' g + f g' זה אומר: נגזרים פעם אחת את הפונקציה הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז נחבר את זה עם ההיפך. ממחשבים את הגבול שמגדיר נגזרת. מפצלים את ההפרש לשתי חלקים. כל חלק נותן אחד מהח...
פולינומי הרמיט
פולינומי הרמיט הם סדרה של ביטויים במשתנה x. כל ביטוי כזה נקרא פולינום. הם חשובים בפיזיקה ובמתמטיקה. מה זה פולינום? פולינום הוא חיבור של חזקות של x עם מספרים כמקשרים. למשל H_0=1 ו-H_1=2x. איך בונים אותם? את H_n מכינים על ידי פעולה של מדידה מיוחדת (נגזרת) על פונקציה עם e^{-x^2}. נגזרת זו מודדת שינוי...
משוואה דיפרנציאלית רגילה
משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה מופיעה נגזרת. נגזרת היא קצב שינוי. זה אומר כמה משהו משתנה כשהזמן או מספר אחר משתנה. משוואות כאלה עוזרות לתאר תופעות בטבע. הן מופיעות בפיזיקה, בכימיה, במזג אוויר, בבני חיים ובכלכלה. דוגמה פשוטה היא חוק ניוטון: כוח מקושר לתנועה של גוף. שם המיקום x תלוי בזמן t....
הפרדת משתנים
הפרדת משתנים היא דרך פשוטה לפתור משוואות שיש בהן נגזרות. נגזרת היא קצב שינוי של פונקציה. הרעיון: לסדר את המשוואה כך שכל צד תלוי רק במשתנה אחד. משתמשים בזה כדי לחלק בעיה קשה לשתיים קלות. כל צד מנוהל ונפתר בנפרד, ואז מחברים בחזרה. במשוואות עם הרבה משתנים, מפרידים את הפתרון למכפלה של שתי פונקציות. ...
מקוריות
מקוריות פירושה ליצור משהו חדש משלך. זה לא העתק. עבודה מקורית לא נלקחת מאדם אחר. המילה "מקוריות" ניתנת כשמחמאה על רעיונות טובים. חוק שמגן על יצירות נקרא זכויות יוצרים. זה אומר שהיוצר צריך להיות המקור של היצירה. אם יצירה בונה לגמרי על יצירה אחרת, היא לא מקורית. אם יש בה חלקים חדשים, זו יצירה נגזרת ...
פונקציה סתומה
פונקציה סתומה היא משוואה שמקשרת בין x ו-y, ולא פירטה כ-y= משהו. דוגמה ידועה היא המעגל x^2+y^2=1. המשוואה הזו אומרת שמקומות על המעגל מקיימים את הנוסחה. יש שתי אפשרויות ל-y עבור כל x. כדי למצוא איך y משתנה כש-x משתנה, ניתן לגזור את שני צדי המשוואה. למשל במעגל מקבלים 2x + 2y y' = 0 ולכן y' = -x/y. y'...
למת הנזל
הלמה של הנזל עוזרת להעביר פתרונות של משוואות ממספרים עם שארית ב-p למספרים עם שארית ב-p בחזקות גבוהות יותר. (p הוא מספר ראשוני כמו 2,3,5). אם יש מספר r שמקיים שארית אפס בחלוקה ב-p לפולינום f, ונגזרת f'(r) (הנגזרת היא השיפוע, כלומר כמה הפונקציה משתנה) לא נותנת שארית אפס ב-p, אז אפשר למצוא בדיוק פתרו...
פונקציה אלמנטרית
פונקציה היא כלל שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה אלמנטרית בנויה מפעולות פשוטות. אלה פעולות כמו חיבור, כפל, חילוק והעמדות של פונקציות מוכרות. פונקציות מוכרות כאלה הן אקספוננט (פונקציה שגדלה מהר), לוגריתם (הפוך של אקספוננט) ופונקציות טריגונומטריות (כמו סינוס וקוסינוס). יש דוגמאות: יש ביטויים מסובכים ...
פונקציה חלקה
באנליזה, פונקציה חלקה היא פונקציה שאפשר לגזור שוב ושוב. נגזרת היא כמה מהר הפונקציה משתנה. C^∞ הוא השם לקבוצה של פונקציות כאלה. זה אומר שיש להן כל נגזרת אפשרית. לעתים מספיק לגזור פעמיים או שלוש. אבל משתמשים בפונקציות חלקות כי הן מקלות על העבודה. אפשר לבנות פונקציה חלקה שהיא 1 על קבוצה סגורה, ו־0 מח...
שיטות אינטגרציה
שיטות אינטגרציה הן דרכים למצוא אינטגרלים. אינטגרל הוא סכום אינסופי של ערכים. אינטגרל לא מסוים הוא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה שלנו. נגזרת מסבירה כמה פונקציה משתנה. לפעמים אי אפשר לכתוב את האינטגרל בעזרת פונקציות פשוטות. דוגמה היא אינטגרל של e בחזקת -y ריבוע. זה אומר שלא תמיד נוכל לבטא את התוצא...
טור טיילור
טור טיילור הוא דרך לבנות פולינום (ביטוי עם חזקות) שמקרב פונקציה סביב נקודה מסוימת x_0. כל איבר בטור משתמש ב"נגזרת" של הפונקציה. נגזרת היא כמה הפונקציה מתאיצה או משתנה. המחשבה פשוטה: אם יודעים את הערך של פונקציה בנקודה, אפשר לנחש את הערכים הקרובים על ידי פולינום קצר. אם מוסיפים גם את המהירות, מקבלי...
פונקציה עולה
פונקציה עולה: כשה־x גדל, גם הערך גדל. (זה אומר שאם x קטן יותר, f(x) קטן יותר.) פונקציה יורדת: כשה־x גדל, הערך קטן. יש שני אופנים: חזק (ערכים גדלים באמת) וחלש (הערכים לא קטנים). פונקציה קבועה נותנת את אותו ערך תמיד. f(x)=x עולה. f(x)=-x יורדת. f(x)=c קבועה היא גם עולה וגם יורדת בחלש. x^2 לא מונוטו...
התמרת לפלס
התמרת לפלס היא דרך לשנות פונקציה בזמן לכלי חדש. פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. בכלי החדש קוראים לו F של s. עושים זאת על ידי חיבור מיוחד של הערכים בזמן. התמרת לפלס עוזרת לפשט בעיות. היא הופכת נגזרת של פונקציה (מה שמספר מהירות שינוי) להכפלה ב‑s. כך קל יותר לפתור משוואות שנראות מסובכות. הר...
משוואה דיפרנציאלית חלקית
משוואה דיפרנציאלית חלקית היא חוק מתמטי על פונקציה של כמה משתנים. פונקציה היא דבר שנותן מספר לכל מקום. נגזרת היא מדד לשינוי. נגזרת חלקית אומרים כשמסתכלים על שינוי לפי משתנה אחד בלבד. דוגמה פשוטה היא משוואת החום. היא אומרת איך טמפרטורה משתנה בזמן וברחבי המקום. כדי לפתור צריך לדעת מתחילים עם איזו טמ...
משפט פרמה (לנקודות קיצון)
לפי פרמה, אם פונקציה חלקה יש לה "שיפוע" בנקודה. שיפוע זה נקרא נגזרת. אם בנקודה יש פסגה או שקע מקומי, השיפוע יהיה אפס. זוהי דרך לומר שהמשיק לפונקציה שם ישר ואופקי. זה לא אומר שכל נקודה עם שיפוע אפס היא פסגה. לפעמים השיפוע אפס אבל אין פסגה. ניקח פסגה מקומית. סביב הפסגה כל הנקודות קרובות לה הן נמוכ...
משיק
משיק הוא קו שנוגע בעקומה בנקודה אחת. הקו מראה את התלילות של העקומה שם. תלילות זו נקראת נגזרת. אם פונקציה גזירה בנקודה, אפשר לכתוב משוואה שנכונה למשיק שם: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0). המשיק למעגל עומד בניצב לרדיוס. רדיוס הוא קו מהמרכז לנקודת ההשקה. משיקים שיוצאים מאותה נקודה חיצונית שווים זה לזה. ...
פונקציה קמורה
פונקציה קמורה היא פונקציה שבה הקו שמחבר שתי נקודות על הגרף נמצא מעל הגרף. גרף זהו הקו שמראה מה הערך של הפונקציה לכל x. אם הקו מעל הגרף לכל שתי נקודות, אז גם ממוצע משוקלל של כמה נקודות עומד תחת אותו כלל. זה שימושי בחשבון ובאי-שוויונות חשובים. קמירות "חלשה" אומרת שהקו לא עובר מתחת לגרף. קמירות "חזקה...
משפט רול
משפט רול מדבר על קו שמציירים לפונקציה בין שתי נקודות. אם הקו לא קופץ (רציפה) והקו חלק כך שיש לו משיק (גזירה), ו‑f(a)=f(b) כלומר הקו מתחיל ומסתיים באותו גובה, אז יש נקודה בתוך הקטע שבה המשיק מאוזן. המשיק המאוזן הוא קו מקביל לציר ה‑x. אפשר לדמיין שמציירים בעיפרון בין שתי נקודות באותו גובה. בלי להרי...
כלל לופיטל
כלל לופיטל עוזר לחשב גבולות שקשה לדעת מיד מה הערך שלהם. גבולות כאלה מופיעים בצורות 0/0 ו־∞/∞. הרעיון הוא להחליף את המונה והמכנה בנגזרות שלהם. אם שתי פונקציות מתקרבות ל־0 ליד נקודה a והן ניתנות לגזירה, ואם הגבול של היחס בין הנגזרות קיים, אז גם הגבול של היחס בין הפונקציות קיים והוא שווה לו. (נגזרת ...
שיטת ניוטון-רפסון
שיטת ניוטון-רפסון עוזרת למצוא מקום שבו פונקציה שווה אפס. מקום כזה נקרא שורש. משיקים הם ישרים שנוגעים לגרף במקום אחד. נגזרת היא שיפוע המשיק, כלומר כמה הפונקציה עולה או יורדת. מחשבים כך: בוחרים נקודה התחלית. בונים את המשיק לגרף שם. רואים איפה המשיק חותך את ציר ה-x. הנקודה הזו היא ההשערה הבאה. חוזרים ...
Maple
Maple (מֵייפְל; בעברית: עץ האדר) היא תוכנה שעוזרת בפתרון בעיות מתמטיות. היא מחשבת נגזרות (איך פונקציה משתנה) ושרטוט גרפים (ציור של פונקציות). יש לה שפת תכנות, והפקודות מורצות על ידי מפרש (תוכנה שקוראת ומריצה פקודות). התוכנה יכולה לעבוד עם ביטויים אלגבריים (משוואות וסימנים של חיבור וכפל) וגם עם מס...
קארל ויירשטראס
קארל ויירשטראס (1815, 1897) היה מתמטיקאי גרמני חשוב. קוראים לו "אבי האנליזה". אנליזה היא חקר גבולות ושינוי. גבול הוא איך משהו מתקרב לערך. נגזרת היא מדד לשינוי, כמו שיפוע במתמטיקה. ויירשטראס עשה סדר ברעיונות האלה. הוא המציא דרך מדויקת להגדיר מתי סדרה מתקרבת לערך. הוא הראה דוגמה מפתיעה ב-1872: פונקצ...
חשבון אינפיניטסימלי
חשבון אינפיניטסימלי הוא חלק במתמטיקה שעוסק בשינוי. רעיון חשוב הוא גבול. גבול זה אומר שהמספר מתקרב אליו יותר ויותר. החשבון נחלק לשתי חלקים: חישוב נגזרות וחישוב אינטגרלים. נגזרת היא קצב השינוי. אינטגרל הוא סכום גדול, לעתים שטח מתחת לעקומה. המשפט היסודי אומר שאם עושים נגזרת ואחר כך אינטגרל חוזרים למ...
גרדיאנט
גרדיאנט הוא חץ שמראה לאן משהו עולה הכי הרבה. שדה סקלרי הוא פונקציה שנותנת מספר לכל נקודה. תארו מקום הררי. גובה כל נקודה הוא מספר. הגרדיאנט בנקודה מראה את כיוון העלייה הכי תלול. אם משחרירים כדור, הוא יגלגל בכיוון ההפוך לחץ הזה. כותבים גרדיאנט כך: ∇f. הסימן ∇ קוראים "דל" או "נבלה". בכתיבה פשוטה בת...
חבורה פתירה
חבורה פתירה היא חבורה שמסתדרים אותה בשלבים פשוטים. חבורה היא אוסף של איברים עם חוק פעולה. "אבלי" זה כששני איברים מחליפים מקום והכל נשאר אותו הדבר. שמו של הרעיון מגיע מתורת גלואה. הוא עוזר להבין מתי אפשר לפתור משוואות בעזרת שורשים. חבורה פתירה ניתנת לפירוק לסדרה של שלבים. בכל שלב מקבלים חבורה שבה...
פונקציה הפיכה
פונקציה הפיכה היא פונקציה שיש לה פונקציה שמחזירה את הכניסה. כלומר, מבצעים פעולה ואז מבצעים את הפעולה ההפוכה. חוזר בדיוק אותו מספר. כדי שתהיה הופכית צריך שתי תכונות. ראשית, כל כניסה שונה נותנת תוצאה שונה. זו תכונה שנקראת חד-חד-ערכיות. שנית, כל תוצאה חייבת להגיע ממשהו בתחום. זו תכונה שנקראת על. אם לא...
משוואה דיפרנציאלית ליניארית
משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא חוק מתמטי שמערב נגזרות של פונקציה. נגזרת היא השינוי של פונקציה לפי x. סדר המשוואה הוא הנגזרת הכי גבוהה שמופיעה. אם הצד הימני של המשוואה הוא אפס קוראים לה הומוגנית. הומוגנית אומרת שאין כוח חיצוני במשוואה. הרבה פתרונות יכולים להתאים למשוואה כזו. אפשר למצוא כמה פתרונות...
ורונסקיאן
וורונסקיאן היא פונקציה שעוזרת לראות אם כמה פונקציות קשורות זו לזו. השם מגיע מהמתמטיקאי יוזף הנה-ורונסקי. כדי למצוא את הוורונסקיאן בונים טבלה. בשורה הראשונה שמים את הפונקציות. בשורה השנייה שמים את הנגזרות שלהן. הנגזרת אומרת כמה הפונקציה משתנה. ממשיכים ככה עד שורה אחרונה של נגזרות מדרגה n-1. מחשבים מ...
משפט הערך הממוצע של קושי
יש שתי פונקציות f ו-g שממשיכות בלי קפיצות על הקטע [a,b]. "רציפה" זה בלי קפיצות. לשתי הפונקציות יש נגזרת (כלומר אפשר למדוד קצב שינוי) בתוך הקטע (a,b). אם הנגזרת של g לא שווה לאפס בתוך הקטע, אז יש נקודה c שבתוכה כך שהנגזרות שלהן עומדות ביחס זהה לפרשי הערכים בסוף הקטע: הנגזרת f'(c) חלקי g'(c) שווה ל-(f...
משפט דארבו
משפט דארבו עוסק בנגזרת. נגזרת היא כמה מהר פונקציה משתנה. אם לפונקציה יש פונקציה קדומה, אז הנגזרת שלה לא מפספסת ערכים. כלומר, אם בקצה אחד הנגזרת קטנה ובקצה השני גדולה, היא עוברת בכל הערכים שביניהם. אם לפונקציה יש נגזרת בכל הקטע וגם בנקודות הקצה, אז לכל מספר בין הנגזרות בקצות הקטע יש נקודה באמצע שבה...
נוסחת האינטגרל של קושי
נוסחת האינטגרל של קושי אומרת כך: אפשר לדעת מה הפונקציה שווה בפנים של עיגול רק מהערכים על השפה של העיגול. פונקציה שכזו נקראת הולומורפית. זה אומר שאפשר למצוא לה נגזרת במובן מיוחדת למספרים מרוכבים. אם יש עיגול בתוך קבוצה פתוחה והפונקציה הולומורפית בתוכו, אז ערך הפונקציה בכל נקודה בפנים נקבע על ידי האי...
אינטגרציה בחלקים
אינטגרציה בחלקים היא שיטה לחישוב אינטגרלים של שתי פונקציות שמוכפלות זו בזו. אינטגרל הוא חישוב של שטח מתחת לעקומה. נגזרת היא קצב שינוי. נוסחה פשוטה: ∫ f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx. זה אומר שאפשר להחליף את האינטגרל במשהו אחר שלעיתים קל יותר לחשב. דוגמה קלה: אם יש ∫ x·cos(nx) dx, בוחרי...
מטריצת הסיאן
מטריצת ההסיאן היא טבלה שמכילה נגזרות שניות של פונקציה. נגזרת שניה היא איך השיפוע משתנה. מטריצה זו עוזרת למצוא אם נקודה היא מינימום, מקסימום או אוכף. אם יש פונקציה של כמה משתנים, בונים טבלה שבה כל תא הוא נגזרת שניה לפי שני משתנים. אם הנגזרות מסדר שני ממש חלקות, הטבלה סימטרית (השורה והעמודה מתחלפות)....
משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)
משפט ליוביל אומר: אם פונקציה מיוחדת ניתנת לגזירה בכל מקום ונשארת קטנה תמיד, היא חייבת להיות קבועה. גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847. ניתן לראות את הנגזרת של הפונקציה כאמצע של הערכים שלה על מעגל סביב נקודה. אם הערכים של הפונקציה לא גדלים בכלל, אז כשהמעגל גדול מאוד הממוצע יתקרב ...
דיפרנציאל (מתמטיקה)
דיפרנציאל הוא קירוב ליניארי של פונקציה סביב נקודה. קירוב = הערכה קרובה. ליניארי = דבר שפועל כמו קו ישר. אם פונקציה מתנהגת יפה סביב נקודה p, אפשר להחליף אותה בקו שעוזר לחשב שינויים קטנים. הקו הזה קוראים לו D_p. יש גם שגיאה קטנה שיורדת לאפס כשנקרב לנקודה. בודקים את הקו על וקטורי היחידה e_i. התוצאה ה...
כלל השרשרת
כלל השרשרת עוזר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת מפונקציות אחרות. נגזרת היא קצב השינוי. אם יש שתי פונקציות g ו-f, ו-h(x)=f(g(x)), אז הנגזרת של h היא: h'(x)=f'(g(x))·g'(x). זה אומר: לוקחים את השינוי של f במקום שבו g מציב את x, ומכפילים בשינוי של g. מחשבים את הגבול לפי הגדרת הנגזרת. מחלקים ויו...
אופרטור
אופרטור הוא פעולה במתמטיקה. הוא מקבל דברים ומחזיר דבר חדש. האפרנדים (האופרנדים) הם הדברים שעליהם פועלים. אופרטורים נכתבים בכמה דרכים. דוגמה: \cos x כותבים את השם לפני x. n! כותבים אחרי המספר. 3+4 כותבים בין שני מספרים. יש גם כתיב שבו שמים את הסימן לפני המספרים, למשל +2,3 במקום 2+3. אופרטור ליניארי...
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
המשפט היסודי מחבר בין אינטגרל לנגזרת. נגזרת היא כמה משהו משתנה. אינטגרל הוא השטח או סכום מתחת לעקומה. אם בונים F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, אז נגזרת F שווה ל‑f שם ש‑f רציפה. זה אומר שאם יודעים אנטי‑נגזרת של f, אפשר לחשב את השטח בין a ל‑b בקלות בעזרת F(b)-F(a). השטח שונה מעט כשמשנים את x קצת. השינוי הזה...
משוואה דיפרנציאלית
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה מחפשים פונקציה. היא אומרת איך פונקציה משתנה ביחס לזמן או למשתנה אחר. נגזרת היא קצב השינוי של פונקציה. ממיינים משוואות לפי סדר, שזה הנגזרת הכי גבוהה שמופיעה. גם מדברים על מעלה, שהיא החזקה הכי גבוהה של הפונקציה. משוואות כאלה עוזרות לתאר פיזיקה, טמפרטורות, ביולוגיה ו...
קוסינוס
קוסינוס היא דרך למצוא מספר בין -1 ל-1 שמקשור לזוויות. במשולש ישר הזווית, קוסינוס של זווית הוא אורך הצלע שליד הזווית חלקי אורך היתר. היתר הוא הצלע הכי ארוכה במשולש. על מעגל ברדיוס 1, כל נקודה מקושרת לזווית. הקוסינוס הוא פשוט הערך של x של אותה נקודה. כך אפשר לחשב קוסינוס לכל זווית. קוסינוס אפשר...
נקודת קיצון
נקודת קיצון היא נקודה שבה הערך של פונקציה הוא הכי גדול או הכי קטן. מקסימום זה הכי גדול. מינימום זה הכי קטן. יש שני סוגים: מקומי (בתוך אזור קטן) וגלובלי (בכל התחום). פונקציה סקלרית (סקלרית אומרת: מחזירה מספר) מקבלת קלט ומחזירה מספר. כדי למצוא נקודות קיצון בודקים את הנגזרת. נגזרת (שיפוע) אומרת האם הפ...
נקודת הצטברות
נקודת הצטברות היא נקודה שאם מתקרבים אליה תמיד יש נקודה נוספת מהקבוצה. דוגמה פשוטה: בקטע, כל הנקודות והקצוות הם נקודות הצטברות. אם כל סביבת הנקודה מכילה נקודה אחרת מהקבוצה, זו נקודת הצטברות. את כל נקודות ההצטברות קוראים הקבוצה הנגזרת. קבוצה נקראת סגורה אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה. אם ...
פונקציה דיפרנציאבילית
פונקציה היא חוק שמקבל כמה מספרים ומחזיר מספר. דיפרנציאבילית (פירוש: ניתנת לקירוב בקו ישר) משמעה: ליד נקודה אפשר להחליף את הפונקציה בחוק פשוט וקווי. הטעויות שנשארות נהיות קטנות מאוד כשמשנים מעט את הקלט. אם פונקציה דיפרנציאבילית, היא גם רציפה. יש לה נגזרות חלקיות (נגזרות חלקיות = כמה משתנה אחד משת...
אנליזה מתמטית
אָנָלִיזָה היא ענף במתמטיקה שעוזר להבין פונקציות. פונקציה היא חוק שקושר מספרים. גבול הוא רעיון של התקרבות. רציפות אומרת שאפשר לצייר את הגרף בלי להרים עט. זה אומר שאין קפיצות פתאומיות. נגזרת מודדת כמה פונקציה משתנה מהר. לומר שהפונקציה גזירה זה אומר שהיא חלקה, בלי שפיצים. אינטגרל הוא דרך לסכום את כ...
נקודת פיתול
נקודת פיתול היא מקום שבו קימור הגרף משתנה. קימור זה אומר אם הגרף כיפתי או קערתי. נגזרת שנייה, מדד לשינוי השיפוע של הגרף. אם היא משנה סימן לפני ואחרי נקודה, זו נקודת פיתול. הפונקציה x בחזקת שלוש (x בחזקת 3) יש לה נקודת פיתול ב‑0. שם הגרף משנה את הקימור. הפונקציה x בחזקת ארבע (x בחזקת 4) לא יש לה...
הרכבת פונקציות
הרכבה של פונקציות פירושה להפעיל פונקציה אחרי אחרת. מפעילים קודם את הראשונה, מקבלים תוצאה, ואז מפעילים עליה את השנייה. אם אפשר להרכיב שלוש פונקציות יחד, לא משנה באיזה סוגריים שמים. זאת אומרת התוצאה לא משתנה אם מקבצים את ההרכבות אחרת. יש פונקציות שאפשר להחזיר מהן את המספר המקורי. אלו נקראות הפיכות. ...