השיטה העשרונית

השיטה העשרונית, או בסיס דצימלי, מציגה מספרים לפי מיקום הספרות בתוך המספר. המיקום קובע את הערך של כל ספרה: למשל 61.3 פירושו 6 פעמים 10 בעוצמה ראשונה (6 עשרות), ועוד 1 פעם 10 בעוצמה אפס (1 אחד), ועוד 3 עשיריות. השיטה משתמשת בעשר ספרות, 0, 9, ולפעמים בנקודה עשרונית כדי להפריד בין החלק השלם לחלק העשרוני.

השיטה פותחה בהודו במאה ה-6. הערבים אימצו אותה מהמאה ה-9 לאחר ספרו של המתמטיקאי אל-ח'ואריזמי (825). לאחר מכן אברהם אבן עזרא ופיבונאצ'י הפיצו אותה באירופה, והיא החליפה את הספרות הרומיות בסוף ימי הביניים. הסיבה שהשיטה הפכה נפוצה היא שהיא פשוטה לשימוש ומתאימה לחישובים.

כל ספרה מייצגת מספר בין 0 ל-9. רצף ספרות פירושו סכום של ספרות כפול חזקות של 10 (חזקות פירושן כמות הכפולות של 10: עשרות, מאות וכו'). לדוגמה 23 = 2 פעמים 10 ועוד 3 פעמים 1.

לחלקים שאינם שלמים משתמשים בחזקות שליליות של 10, כלומר בעשיריות, מאיות וכדומה. כך 25.3 = 2 עשרות + 5 אחדות + 3 עשיריות. אפשר להוסיף אפסים בסוף כדי להבהיר דיוק, למשל 25.300 הוא עדיין 25.3, ולכן מקובלים למחוק אפסים לא משמעותיים מהסוף.

מספרים שהם מנה של מספר טבעי בשורש חזקה של 10 (כלומר a חלקי 10^n) נקראים שבר עשרוני סופי. יש מספרים כמו 1/3 שלא ניתנים לייצוג סופי בעשרוני; הם דורשים רצף אינסופי של ספרות. מדי פעם מציבים נקודה עשרונית מקוצרת, למשל 0.33... לציון המשך אין-סופי של הספרה 3. כמעט לכל מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד יחיד, מלבד מצבים מיוחדים שבהם יש גם ייצוג סופי וגם ייצוג אינסופי עם תשיעיות חוזרות.

במספרים ארוכים מפרידים קבוצות של שלוש ספרות כדי לקרוא מהר יותר, למשל 1,000,000. סימן ההפרדה שונה בשפות שונות: בעברית ובאנגלית נוהגים בפסיק (10,000), בעוד במדינות אחרות משתמשים בנקודה או ברווח. התקנים בינלאומיים ממליצים לעיתים על רווח במקום סימן כדי למנוע בלבול עם הנקודה העשרונית.

חיבור וחיסור נעשים כמו במספרים שלמים, כאשר יש לשים לב למיקום הנקודה העשרונית וליישר אותה. ניתן להוסיף אפסים אחרי הנקודה כדי להשוות את מספר הספרות השבריות.

בהכפלות של מספרים עשרוניים מכפילים כרגיל כשלמים ואז שמים את הנקודה במיקום המתאים לפי סך כל הספרות אחרי הנקודה בשני המספרים. בחילוק, כשהמכנה שלם והמונה עשרוני, אפשר לעשות את החישוב כמו שלמים ולמקם נקודה לפי ספרות המונה.

(כאן מוזכר שמתקיימות טבלאות המרה בין בסיסים שונים של ספרות.)

השיטה העשרונית משתמשת בעשר ספרות: 0 עד 9. מיקום הספרה קובע כמה היא שווה. למשל ב־61.3 יש 6 עשרות, 1 אחד ו‑3 עשיריות.

השיטה הופיעה בהודו לפני הרבה שנים. הערבים הביאו אותה לאזור שלהם, ואחר כך פיבונאצ'י העביר אותה לאירופה. היא החליפה את הספרות הרומיות כי היא קלה יותר לחישוב.

רצף ספרות נקרא הצגה עשרונית. כדי לכתוב חלקים הקטנים מ‑1 משתמשים בעשיריות ומאיות. לדוגמה 25.3 זה עשרים וחמש ושלוש עשיריות.

יש מספרים שניתן לכתוב כסוף בעשרוני. אחרים, כמו אחת חלקי שלוש, יהיו תמיד עם ספרות שחוזרות עד אינסוף. לפעמים רושמים 0.333... כדי להראות שהספרה 3 חוזרת בלי סוף.

כשמספר ארוך מאוד, מפרידים קבוצות של שלוש ספרות לקריאה מהירה. בעברית בדרך כלל משתמשים בפסיק: 1,000,000.

בחיבור ובחיסור שולים את הנקודה העשרונית, כדי לעשות את החישוב נכון. בכפל סופרים כמה ספרות יש אחרי הנקודה וממקמים את הנקודה בתוצאה בהתאם.