השערת גולדבך החלשה

הגרסה החלשה של השערת גולדבך טוענת: כל מספר אי־זוגי שגדול מ‑5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ‑1 שחולק רק בעצמו וב‑1.

הגרסה החלשה נגזרת מהגרסה החזקה של גולדבך, שאומרת שכל מספר זוגי גדול מ‑2 הוא סכום של שני ראשוניים. אם ההשערה החזקה נכונה, אז לכל n אי־זוגי גדול מ‑5 יש כתיבה n=3+p+q, ולכן הגרסה החלשה מתקבלת בקלות. מהגרסה החלשה נובע גם שקבוע שנירלמן, המספר הקטן k כך שכל מספר טבעי גדול מ‑1 הוא סכום של עד k ראשוניים, אינו עולה על 4.

הרעיון הועלה על ידי כריסטיאן גולדבך ואוילר ב‑1742. ב‑1922 הארדי וליטלווד הראו שאם מניחים את השערת רימן המוכללת (השערה על אפסי פונקציות זטא של מספרים), כל מספר אי‑זוגי גדול דיו הוא סכום של שלושה ראשוניים. ב‑1937 וינוגרדוב הסיר את ההנחה הזו והוכיח את הטענה עבור כל המספרים הגדולים מספיק. במשך העשורים הבאים שופרו ההערכות על המספר C שממנו ההוכחה תקפה. לבסוף, בין 2012 ל‑2013 הראלד הלפגוט השלים הוכחה מלאה בעזרת שיפורים אנליטיים ובדיקות חישוביות. הלפגוט וסביבתו בדקו את הטענה ישירות עד כ‑10^30, ובמאמר סופי הוכיחו את ההשערה לכל n>10^27 ובכך סגרו את הפער.

הרעיונות המרכזיים משלבים שיטות אנליטיות ושיטות חישוביות. משתמשים בפונקציית משקל w(n) ומגדירים f(n)=∑_{p+q+l=n}w(p)w(q)w(l), כאשר הסכום הוא על ראשוניים. אם מראים f(n)>0 אז יש כתיבה של n כסכום של שלושה ראשוניים. הערכת f נעשית באמצעות טורי פורייה ושיטת המעגל של הארדי וליטלווד. מקבלים חלוקה ל"תרומה ראשית" g(n ולאגירת שגיאה r(n). הוכחות מוכיחות ש‑g(n)>|r(n)| עבור n>C וכך נותר לבדוק את שאר המספרים עד C בעזרת מחשב.

כדי לסגור את ההוכחה נדרשו בדיקות ממוחשבות רבות. הלפגוט השתמש בבדיקות שנעשו פעמים רבות, בבדיקות על מחשבי‑על, ובבאמצעות בדיקה של אי־התאפסות פונקציות זטא עד רמה מסוימת (בדק על ידי פלאט). בעבודה נעשה שימוש בבדיקות ראשוניות יעילות עבור סוגים מסוימים של מספרים (למשל מספרי פרות) כדי לזרז בדיקות. כדי להפחית סיכונים נעשו חישובים חוזרים ועמידות בפני שגיאות חומרה.

העיקר: כיום ידוע שהגרסה החלשה של גולדבך נכונה לכל המספרים האי‑זוגיים הגדולים מ‑5, הודות לשילוב של טכניקות אנליטיות מתקדמות ולחישובים ממוחשבים מקיפים.

הגרסה החלשה של גולדבך אומרת: כל מספר אי‑זוגי גדול מ‑5 הוא סכום של שלושה ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק בעצמו וב‑1.

הרעיון הוצע ב‑1742 על ידי גולדבך. מתמטיקאים עבדו על זה הרבה שנים. ב‑1937 וינוגרדוב הוכיח שזה נכון לכל המספרים הגדולים מספיק. בשנים 2012, 2013 הראלד הלפגוט סיים את ההוכחה לכל המספרים בעזרת מתמטיקה וחישובים גדולים במחשב.

הוכחה משלבת שני דברים: מתמטיקה קשה ומחשבים חזקים. המתמטיקאים בודקים כמה דרכים אפשר לכתוב מספר כסכום של שלושה ראשוניים. אם יש לפחות דרך אחת, הוכחנו שהמספר אפשרי. הם חלקו את הבעיה לשני חלקים: הוכחה לגדולים מאוד, ובדיקת כל המספרים הקטנים עד גבול מסוים על ידי מחשב.

החישובים בוצעו כמה פעמים ובמחשבי‑על כדי למנוע טעויות. כך ודאו שהמסקנה בטוחה.

התוצאה החשובה: היום יודעים שכל מספר אי‑זוגי גדול מ‑5 הוא סכום של שלושה ראשוניים.