הכללה (מתמטיקה)

הכללה היא רעיון מרכזי במתמטיקה: לוקחים עצם מתמטי מסוים ומעבירים אותו לעצם כללי יותר. העצם ההתחלתי נשאר מקרה פרטי של הכללה זו. ההכללה עוזרת להעביר ידע ממקרה ספציפי להקשר רחב יותר. כך אפשר להשתמש בתכונות שגילינו על המקרה הפרטי במצבים רחבים יותר. לעתים היא גם מגלה עובדות חדשות על המקרה הפרטי, כי היא מסירה פרטים לא רלוונטיים ומראה את התמונה הגדולה.



תחילה טענה פשוטה על מספרים: a^3-a תמיד מתחלק ב-3. הסבר: a^3-a = a(a-1)(a+1), זו מכפלה של שלושה מספרים עוקבים. אחד מהם מחולק ב-3, ולכן גם כל המכפלה מתחלקת ב-3. אם נציב a=2 נקבל ש-6 מתחלק ב-3.

משפט חזק יותר מכליל את הטענה הקודמת. משפט אוילר (Euler) כלל את המשפט הקטן של פרמה (Fermat). אם n הוא מספר ראשוני p, אז φ(p)=p-1, וכך מתקבל הביטוי המוכר של פרמה: a^{p-1}-1 מתחלק ב-p.

ההכללות ממשיכות: ניתן לראות את קבוצת המספרים הטבעיים הקטנים שזרהים ל-n (זרים = ממנים משותף 1) כחבורה ביחס לכפל מודולו n. חבורה היא קבוצה עם פעולה שמקיימת חוקים מסוימים. הסדר של חבורה הוא מספר האיברים שלה. באותה צורה, טענת אוילר היא מקרה של עיקרון רחב יותר בתורת החבורות.

הטענה הקודמת אף נובעת ממשפט לגראנז' אם בוחרים תת-חבורה ציקלית הנוצרת על ידי איבר g. על אף שכל טענה כאן חזקה יותר מקודמתה, הוכחותיהן דומות לעיתים קרובות. המיומנות בהכללה היא לדעת אילו תכונות חשובות ואילו מפריעות. כאן, ההתעסקות במספרים עצמם לא הייתה נחוצה כדי להגיע לתוצאה כללית יותר.

הכללה אומרת: לוקחים משהו מתמטי קטן ועושים אותו כללי יותר. הדבר הקטן נשאר מקרה מיוחד.



יש טענה פשוטה: a^3-a מתחלק ב-3. הסבר קצר: a^3-a = a·(a-1)·(a+1). זהו מכפלה, חיבור של מספרים אחד אחרי השני. בשלושה מספרים עוקבים אחד מהם מתחלק ב-3, ולכן כל המכפלה מתחלקת ב-3. אם a=2, אז 6 מתחלק ב-3.

יש חוק כללי יותר בשם משפט אוילר. הוא כולל את המשפט הקטן של פרמה. אם n הוא מספר ראשוני p, אז φ(p)=p-1. φ(n) הוא מספר המספרים הקטנים מ-n שאין להם מחלק משותף עם n.

המספרים שזרהים ל-n יוצרים חבורה. חבורה היא קבוצה שבה יש פעולה שמתנהגת לפי חוקים. טענות על חבורות הן הכללות של הטענות על המספרים. לעתים ההוכחות זהות, כי חשוב לזהות את התכונות החשובות.