השערת קולץ

השערת קולץ (Collatz) היא בעיה בתורת המספרים על התייצבות של תהליך חישובי פשוט.
הכלל קצר: מספר זוגי מחלקים ב־2. מספר אי-זוגי (שאינו מתחלק ב־2) מכפילים ב־3 ומוסיפים 1.
ההשערה קובעת שאם מפעילים את הכלל שוב ושוב על כל מספר טבעי, בסופו של דבר מגיעים ל־1.
למשל, מתחילים ב־11 ומקבלים: 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
אחרי הגעה ל־1 נוצרת לולאה קצרה: 1 → 4 → 2 → 1.
השאלה משכה תשומת לב כי היא קלה לתיאור וקל לבדוק דוגמאות במחשב. בדקו אותה עד מספר בגודל כ־2 בחזקת 68, ולא נמצאה דוגמא שמפריכה אותה.
לא קיימת הוכחה שהיא נכונה לכל המספרים. פאול ארדש אף אמר ש"המתמטיקה עדיין לא מוכנה" לבעיה זו, והציע פרס של 500 דולרים על הוכחה.
קיים נימוק אינטואיטיבי: צעד על מספר זוגי מקטין אותו בחצי; צעד על מספר אי־זוגי מגדיל אותו פי שלוש ואז מחלקים בחצי, כלומר בערך פי 3/2.
אם היו תדירויות שוות של צעדים זוגיים ואי־זוגיים, הממוצע היה קטן ממספר ההתחלה, וזה נותן סיבה לחשוב שהמספרים יורדים בסופו של דבר.
אך זה לא הוכחה, כי אין ערבות שהתדירויות אכן שוות. ב־2019 הוכיח טרנס טאו טענה הסתברותית חשובה: כמעט כל המסלולים של המפה מגיעים לערכים כמעט מוגבלים.

זו בעיה על סדרת מספרים. סדרה היא חזרה של פעולות על מספר.
הכלל פשוט: אם המספר זוגי, מחלקים ב־2. אם המספר אי־זוגי (לא מתחלק ב־2), מכפילים ב־3 ומוסיפים 1.
ממשיכים כך שוב ושוב. ההשערה אומרת שבסוף כל סדרה תגיע ל־1.
דוגמה קצרה: מתחילים ב־11 ומקבלים בסוף 1. אחרי זה יש מחזור: 1 → 4 → 2 → 1.
מחשבים בדקו הרבה מספרים, עד מספר גדול מאוד שנקרא 2 בחזקת 68. לא מצאו מספר שסותר את ההשערה.
עדיין לא הוכיחו שהשיטה עובדת לכל המספרים. המתמטיקאי פאול ארדש הציע פרס של 500 דולרים למי שיוכיח זאת.
בשנת 2019 טרנס טאו הראה תוצאה חשובה: רוב המסלולים מגיעים לערכים קרובים ומדויקים יחסית.