צפיפות (תורת המספרים)

תורת המספרים בוחנת גם קבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים והשוואה ביניהן. רעיון מפתח הוא 'צפיפות', כמה חלק מהמספרים בטווח עד n שייכים לקבוצה.

תהי A קבוצה של מספרים טבעיים. נרשום A(n) = A ∩ {1,...,n}, כלומר כל האיברים של A עד n. היחס |A(n)|/n נותן את החלק (החלק הוא יחס בין 0 ל‑1) של המספרים עד n שנמצאים ב‑A. אם הגבול של היחס הזה קיים כש‑n גדל לאינסוף, הוא נקרא צפיפות טבעית של A.

אם הגבול לא קיים משתמשים בהגדרות חלופיות: צפיפות עליונה (lim sup, הגבול העליון) וצפיפות תחתונה (lim inf, הגבול התחתון). אלה תמיד קיימות ונותנות רמות עליונות ותחתונות ל'חלק' של הקבוצה.

באנליזה של תורת המספרים משתמשים גם בצפיפות דיריכלה, שהיא הרחבה של הצפיפות הטבעית. אם צפיפות טבעית קיימת, אז צפיפות דיריכלה קיימת והיא שווה לה. בתורת המספרים האדיטיבית נפוצה צפיפות שנירלמן, שהיא מושג אחר לצפיפות.

לכל n מגדירים שוב A(n)=A∩{1,...,n}. הצפיפות העליונה מוגדרת כאיבר הגבול העליון של |A(n)|/n כאשר n→∞. הצפיפות התחתונה היא איבר הגבול התחתון של אותו יחס. כאשר שני הערכים שווים מקבלים את צפיפות A.

נסמן צפיפות באמצעות d(A). מתקיים תמיד:
max{d(A),d(B)} ≤ d(A ∪ B) ≤ min{d(A)+d(B), 1}.
זה אומר שהצפיפות של האיחוד היא לפחות הצפיפה הגדולה מבין השתיים, ולא יותר מסכום הצפיפיות או 1.

דוגמה לקבוצה שאין לה צפיפות טבעית היא הקבוצה של מספרים שהייצוג הבינארי שלהם כולל מספר אי‑זוגי של ספרות. אפשר לבנות אותה כאיחוד של מרווחים בין חזקה לזו של שתי חזקה. לצפיפות העליונה של קבוצה זו יש גבול של 2/3, ואילו הצפיפות התחתונה היא 1/3. לכן אין גבול יחיד ל|A(n)|/n והצפיפות הטבעית לא קיימת.

צפיפות אומרת כמה חלק מהמספרים עד n נמצאים בקבוצה.
לדוגמה, עד 100 נבדוק כמה מספרים מהקבוצה נמצאים בין 1 ל‑100.
A(n) הוא השם לחלק הזה: כל האיברים של A עד n.
יחס |A(n)|/n אומר את החלק. החלק תמיד בין 0 ל־1.

אם החלק מתייצב כשהמספרים גדלים, זה נקרא צפיפות טבעית.
אם לא מתייצב, יש שתי מחשבות: צפיפות עליונה וצפיפות תחתונה.
העליונה אומרת הערך הכי גדול שהיחס מתקרב אליו לעתים.
התחתונה אומרת הערך הכי קטן שהיחס מגיע אליו לעתים.

אם יש שתי קבוצות, הצפיפות של האיחוד שלהן תמיד לפחות הגדולה מבין השתיים.
היא גם לא יכולה להיות יותר מסכום הצפיפיות, ולפעמים זה לא יותר מ‑1.

יש קבוצה של מספרים שהייצוג שלהם בבינארי (הדרך לכתוב במספרים 0 ו־1) מכיל מספר אי‑זוגי של ספרות.
לקבוצה הזאת אין צפיפות אחת קבועה. לפעמים החלק קרוב ל‑2/3 ולפעמים קרוב ל‑1/3.
לכן אין ערך יחיד שמתאר את כל הפעמים.