חבורה פשוטה

חבורה פשוטה היא חבורה G
e \{e\} שאין לה תת‑חבורה נורמלית לא‑טריוויאלית. נורמלית, תת‑חבורה שנשארת זהה כשמבצעים עליה הצמדה (conjugation) על ידי איברי G. משמעותה: אין «חלקים פנימיים» של החבורה שניתנים להפרדה בלי לפרק את כל המבנה.

על חשיבותן: לפי משפט ז'ורדן‑הולדר, כל חבורה סופית ניתנת להצגה באמצעות סדרת הרכב (composition series). הגורמים של סדרת ההרכב הם חבורות פשוטות, והצגה זו ייחודית עד כדי התאמה. לכן חבורות פשוטות משמשות כאבני‑בניין של חבורות סופיות, בדומה לתפקיד המספרים הראשוניים במספרים שלמים.

המיון המלא של החבורות הפשוטות הסופיות הושלם ב‑1982. זהו הישג משותף של מתמטיקאים רבים.


דוגמה של שרשרת נורמליות היא S_4 ▹ A_4 ▹ V_4 ▹ \{e\}, כאשר A_4 היא חבורת ההעתקים הזוגיים ו‑V_4 היא חבורת קליין. מצד שני, לכל n\ge 5 החבורה האלטרנטית A_n פשוטה.

משפט פייט‑תומפסון אומר שכל חבורה מסדר אי‑זוגי היא פתירה. פתירה (solvable) פירושה שניתן לפרק את החבורה בשלבים כך שכל גורם יהיה פשוט יותר, והמשפט הזה היה צעד מרכזי לקראת מיון החבורות הפשוטות. מן המיון המלא נובע גם שכל חבורה פשוטה, פרט למשפחת חבורות סוזוקי, יש לה סדר שמתחלק ב‑3.


חבורה קוואזי‑פשוטה (quasisimple) היא חבורה מושלמת, כלומר הקומוטטוריות [G,G] שווה ל‑G, וכאשר חוצים אותה לפי המרכז Z(G) מקבלים חבורה פשוטה. חבורה כמעט‑פשוטה (almost simple) היא תת‑חבורה של Aut(A) שמכילה את כל האוטומורפיזמים הפנימיים, עבור חבורה פשוטה A.

דוגמה חשובה: אם \operatorname{PSL}_n(F) פשוטה, אז \operatorname{SL}_n(F) היא קוואזי‑פשוטה, ו‑\operatorname{PGL}_n(F) היא כמעט‑פשוטה.

חבורה פשוטה היא חבורה שאינה ריקה ולא ניתנת לחלוקה. תת‑חבורה היא קבוצה קטנה יותר בתוך חבורה. נורמלית (נשארת במקום) פירושה שהתת‑חבורה לא משתנה כשעושים פעולה של החבורה עליה.

חשוב לדעת: חבורות סופיות אפשר לפרק ל'אבני בניין' בסיסיות. משפט ז'ורדן‑הולדר אומר שהאבנים האלה הן תמיד חבורות פשוטות, והדרך לפרק חבורה כזאת היא מיוחדת.

המיון של כל החבורות הפשוטות הסתיים ב‑1982.


יש שרשרת: S_4 > A_4 > V_4 > {e}. כאן A_4 היא חבורת ההחלפות הזוגיות, ו‑V_4 היא חבורת קליין. לכל n שגדול או שווה ל‑5, החבורה A_n פשוטה.

משפט פייט‑תומפסון אומר שחבורה שהמספר של האיברים בה אי‑זוגי, היא פתירה. פתירה זה אומר שאפשר לפרק אותה בשלבים פשוטים.


קוואזי‑פשוטה: חבורה שקרובה להיות פשוטה. אם מורידים את מה שנקרא המרכז שלה, מקבלים חבורה פשוטה. המרכז (Z(G)) הוא האיברים ש'מתאימים' עם כל שאר האיברים.

כמעט‑פשוטה: חבורה שנמצאת בתוך קבוצת כל האוטומורפיזמים של חבורה פשוטה, והיא כוללת את ההחלפות הפנימיות.

דוגמה קצרה: אם \operatorname{PSL}_n(F) פשוטה, אז \operatorname{SL}_n(F) היא קוואזי‑פשוטה, ו‑\operatorname{PGL}_n(F) היא כמעט‑פשוטה.