חבורת סימטריות היא האוסף של כל הדרכים לשנות אובייקט, תוך שמירה על התכונות החשובות שלו. פעולה היא שינוי שמחליף חלקים באובייקט בלי לעוות אותם. הרכבה של פעולות ברצף יוצרת מבנה אלגברי בשם חבורה. חבורת הסימטריות של מבנה מתמטי נקראת חבורת האוטומורפיזמים, כלומר העתקות שמחזירות את המבנה לעצמו.
חבורות סימטריות חשובות במתמטיקה ובמדעים. בפיזיקה, בכימיה ובקריסטלוגרפיה משתמשים בהן כדי לתאר חוקים ותכונות שלא משתנות תחת סיבוב או שיקוף.
כדי לחשב חבורת סימטריות של אובייקט גאומטרי, בדרך כלל דורשים שהפעולות יוכלו להתבצע במרחב שבו האובייקט שוכן. משמעות הדבר היא שהפעולות מוגדרות על ידי אוטומורפיזמים של המרחב. כך חבורות הסימטריה של אובייקטים במרחב X הן תמיד תת־חבורות של חבורת האוטומורפיזמים של X. לכן חבורות האוטומורפיזמים של מרחבים חשובים, כמו המרחב האוקלידי, זוכות להתייחסות מרכזית.
מעבר לדרישה זו, יש להחליט גם שתי נקודות נוספות: אילו תכונות של האובייקט יש לשמור, ואיך קובעים מתי שתי פעולות נחשבות שונות.
תמורה היא שורה של n עצמים שונים. חבורת הסימטריות שלה מכילה את כל הסידורים האפשריים של העצמים. זו החבורה הסימטרית, והמספר הכולל של הפעולות הוא n!
למצולע משוכלל בעל n צלעות חבורה שונה לפי האם שיקוף מותר. אם מותר שיקוף, יש 2n סימטריות. זו החבורה הדיהדרלית. אם שיקוף לא נכלל, נשארים רק n סיבובים, המהווים חבורה ציקלית.
לתלת־מימד: חבורת הסימטריות של קובייה במרחב האוקלידי כוללת 24 איברים. אם מסתכלים רק על הגרף המופשט של הקובייה (רק הקודקודים והקשתות), מקובל לכלול גם שיקופים, ואז יש 48 איברים.
אובייקט מרחבי סופי צריך לשמור על מרכז הכובד שלו. לכן חבורת הסימטריות שלו מורכבת בעיקר מסיבובים של המרחב. סריג אינסופי, כמו רשת גבישית, עשוי לכלול גם הזזות של המרחב, בנוסף לסיבובים ולשיקופים.
הסימטריות ששומרות על נקודה נתונה של האובייקט יוצרות תת־חבורה. תת־חבורות כאלה הן צמודות זו לזו. צמודות (conjugacy) פירושה שניתן להעביר בין תת־חבורות בעזרת הזזה או שינוי תיאום של המרחב.
חבורת האיזומטריות של מרחב מטרי כוללת את כל הטרנספורמציות ההופכות ששומרות על מרחקים. איזומטריה היא העתקה ששומרת על המרחק בין כל זוג נקודות. במרחב האוקלידי כל איזומטריה ניתנת לפרק לשילוב של סיבוב או השתקפות, ולזיזת מיקום (הזזה). החבורה מתחלקת לשתי תת־חבורות עיקריות: ההזזות, שהן תת־חבורה נורמלית, וחבורת הסיבובים וההשתקפויות (המטריצות האורתוגונליות).
חבורת סימטריות היא כל הדרכים להזיז או לסדר משהו מבלי לשנות אותו. פעולה היא שינוי שלא מרוסק את הצורה.
כדי לדעת מהן הסימטריות, בודקים רק שינויים שניתן לעשות במרחב שבו האובייקט נמצא. גם צריך להחליט מה בדיוק נשאר אותו דבר.
שורה של n דברים: כל סידור שלהם הוא סימטריה. זו חבורה שנקראת הסימטרית.
מצולע משוכלל: אם מותר לשקף אותו, יש 2n דרכים. אם לא, יש רק n סיבובים.
קובייה במרחב יש לה 24 סימטריות. כשמסתכלים רק בקשרי הקודקודים, מקבלים 48 סימטריות.
עצם קטן שצריך לשמור על מרכז הכובד שלו, בדרך כלל זה אומר סיבובים סביב המרכז. רשת אינסופית יכולה לכלול גם הזזות.
איזומטריה היא העתקה ששומרת על המרחקים. במרחב רגיל כל סימטריה היא שילוב של סיבוב או שיקוף והזזה. ההזזות יוצרות קבוצה מיוחדת בחבורה.
תגובות גולשים