חוג עם חילוק

בחוג עם חילוק ההגדרה היא פשוטה יחסית: חוג (מבנה עם חיבור וכפל) בעל יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הפיך. "הפיך" כאן אומר שקיים איבר שמכפיל אותו ומחזיר את היחידה. בחוג קומוטטיבי (כאשר הכפל אינו משנה סדר) חוג עם חילוק הוא בדיוק שדה. דוגמה קלאסית של חוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

חוגים כאלה נולדים באופן טבעי באלגברה. למשל, חוג האנדומורפיזמים (המיפוים האיבריים) של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק. עובדה זו היא בסיסית במשפט ודרברן-ארטין (Artin, Wedderburn), שמקשר חוגים ארטיניים פשוטים למטריצות מעל חוגי חילוק. כלי מחקר חשוב הוא חבורת בראואר של השדה, שמסייעת להבין אלגברות חילוק מעל שדה נתון.

בחוג עם חילוק אין אידיאלים חד-צדדיים (תת־אוספים יציבים תחת פעולות), ולכן כל חוג כזה פשוט. מצד שני יש חוגים פשוטים שאינם חוגים עם חילוק, למשל מטריצות בגודל n מעל חוג חילוק D, M_n(D), הן פשוטות אבל מכילות מחלקי אפס. כל תת־חוג של חוג עם חילוק הוא תחום (אין בו מחלקי אפס). במובן הקומוטטיבי כל תחום כלוא בשדה, אבל במצב הלא‑קומוטטיבי זה לא תמיד נכון (Malcev הראה דוגמאות). משפט הצפיפות של ג'ייקובסון אומר שכל חוג פרימיטיבי צפוף בחוג האנדומורפיזמים של מודול מעל חוג עם חילוק. לפי משפט Cartan, Brauer, Hua אין תת‑חוגים שומרים תחת הצמדה, פרט למרכז ולחוג כולו.

בחיי היומיום המתמטיים אפשר לראות בחוגים עם חילוק הכללה של שדות למצב הלא־קומוטטיבי. יש מושגים אנלוגיים לשדה פונקציות רציונליות, אבל הם מסובכים יותר: לא כל איבר באלגברת חילוק גנרית הוא מנה פשוטה של איברים מהחוג המקורי.

הדוגמה המפורסמת היא קווטרניונים של המילטון. יש גם אלגברית הקווטרניונים המוכרות מעל הממשיים, המרוכבים וכ'ו.

מעל חוג עם חילוק אפשר לפתח חלק גדול מהאלגברה הליניארית. מודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים ויש להם דרגה מוגדרת, בדומה לממד מרחב וקטורי. יוצא דופן הוא נושא הדטרמיננטה: אין העתקה פשוטה של כפל ממטריצות אל החוג, וההגדרות דורשות זהירות (קיימת דטרמיננטה מיוחדת לדודונה). מטריצה מעל חוג עם חילוק היא "מלאה" אם אי‑אפשר לפצל אותה באופן שמקטין את מספר העמודות; מעל חוג עם חילוק, מלאה שווה להפיכה.

בגאומטריה פרויקטיבית לא‑קומוטטיבית מפרסמים סכמות המתוארות על ידי תחומים מדורגים. כדי למיין יריעות עד שקילות בירציונלית נדרש מושג של "שדה פונקציות" לא‑קומוטטיבי. בהפיכה של האיברים ההומוגניים מקבלים חוג מדורג גדול יותר, שדרגו האפס שלו הוא חוג עם חילוק. זהו המקבילה הלא‑קומוטטיבית לשדה הפונקציות הרציונליות.

אלגברת חילוק D מעל שדה מרכזי F נקראת סגורה אלגברית אם כל פולינום רגיל עם מקדמים ב־D יש לו שורש ב‑D. בשדה קומוטטיבי זה שקול לשדה סגור אלגברית. בניגוד למצב הקומוטטיבי, לא כל אלגברה עם חילוק מושכת לשטח סגור אלגברית; למשל הקווטרניונים אינם ניתנים לשיכון הכזה לפתרון המשוואה ix−xi=1. יש דוגמאות מתוחכמות של אלגברות חילוק סגורות אלגברית שנבנו על ידי Makar‑Limanov.

ההגדרה הנרדפת לחוג עם חילוק למצב הלא‑אסוציאטיבי היא שכל אופרטור כפל ימני או שמאלי הוא הפיך, כלומר לכל המשוואות ax=b ו‑xa=b יש פתרון יחיד. גם כאן המרכז הוא שדה, וכל חוג עם חילוק הוא פשוט. באלגברה אלטרנטיבית (אלגברה שבה תחלופה חלקית מחזיקה) התכונות של הפיכות אופרטוריות ואיברים הפיכים שקולות, ולכן אלגברה שבה כל איבר הפיך היא אלגברה עם חילוק.

על הממשיים ישנה תוצאה חדה: פרובניוס הראה שיש רק שלוש אלגברות אסוציאטיביות עם חילוק וממד סופי מעל הממשיים: הממשיים, המרוכבים וקווטרניונים. זורן הראה שיש רק ארבע אלגברות אלטרנטיביות כאלה, כולל האוקטוניונים. הופף הראה שהממדים המותרים לאלגברות חילוק מעל הממשיים הם 1, 2, 4, ו‑8.

(ניתן לכלול כאן מחקר על אלגברות מממד אינסופי וסוגיות נוספות; במקור הוזכרו פרקים מטיפוסים אלה.)

חוג עם חילוק הוא מבנה מתמטי עם חיבור וכפל. כל איבר שאינו אפס בו יש לו הופכי. "הופכי" אומר: קיים איבר שמכפיל אותו ונותן את המספר 1.

חוג קומוטטיבי הוא כזה שכאשר מכפילים סדר לא משנה. במקרה כזה חוג עם חילוק הוא שדה. שדה הוא מקום שבו אפשר לחלק בלי בעיה, כמו המספרים הרציונליים.

דוגמה מפורסמת היא הקווטרניונים של המילטון. אלה מספרים מיוחדים שאינם מקיימים סדר כפל רגיל, ולכן הם חוג עם חילוק שאינו שדה.

חוגים עם חילוק הם פשוטים, כלומר אין בהם תת‑מבנים מיוחדים. יש גם חוגים פשוטים אחרים, כמו מטריצות, אבל הם שונים כי יש בהם "מחלקי אפס" (איברים שאם מכפילים מקבלים אפס).

הדוגמאות הבולטות מעל הממשיים הן: המספרים הממשיים, המספרים המרוכבים, הקווטרניונים ואוקטוניונים.

מעל חוג כזה אפשר לעבוד בדומה למרחב וקטורי. כל מודול (איזה סוג של וקטור) חופשי ויש לו דרגה. אבל רעיון הדטרמיננטה והתכונות של מטריצות דורשים זהירות.

בגאומטריה מתקדמת משתמשים בחוגים עם חילוק כדי להגדיר "שדות פונקציות" לא רגילים. זה דומה לשיטה הגאומטרית הרגילה, אבל לא קומוטטיבית.

אלגברת חילוק סגורה אלגברית היא כזו שבה כל פולינום יש לו פתרון בתוך האלגברה. לא כל אלגברת חילוק כזו אפשר ליצור בקלות. יש דוגמאות מיוחדות שמראות שזה מורכב.

גם בלי חוק האסוציאטיביות אפשר להגדיר חוגים עם חילוק. שם כל כפל ימני ושמאלי הופכי כמפעיל. המרכז של החוג הוא שדה.

מעל הממשיים יש חוקי סינון חדים. יש רק כמה אלגברות חילוק אפשריות בגדלים מסוימים: 1, 2, 4 ו‑8.

עדיין חוקרים חוגים עם חילוק בממדים שונים ובתנאים שונים, ויש שאלות פתוחות רבות.