חיתוך (מתמטיקה)

חיתוך של שתי קבוצות A ו-B הוא הקבוצה של כל האיברים שנמצאים גם ב-A וגם ב-B. סימון מקובל הוא A∩B.

מבחינה פורמלית: x שייך ל-A∩B בדיוק כש-x שייך ל-A וגם ל-B. כלומר, להיות בחיתוך זה להיות בשתי הקבוצות בו-זמנית.

אפשר להגדיר חיתוך של משפחה של קבוצות, לא רק של שתי קבוצות. ניקח משפחה {A_i}_{i∈Λ}, כלומר, אוסף של קבוצות שמזוהה באמצעות אינדקסים i מתוך קבוצת אינדקסים Λ. החיתוך
⋂_{i∈Λ} A_i מכיל איבר x רק אם x שייך לכל A_k עבור כל k ב-Λ.

אם קבוצת האינדקסים Λ ריקה, מדברים על "חיתוך ריק". כדי להבטיח שהוא בעצם קבוצה, מגדירים את החיתוך בתוך מרחב נתון X. אז חיתוך משפחה ריקה שווה למרחב X עצמו.

כאשר מסתכלים על סדרת קבוצות A_n, אפשר להגדיר גבול תחתון וגבול עליון של הסדרה. הגבול התחתון נקרא liminf A_n והגבול העליון נקרא limsup A_n. הם קשורים לחיתוכים ואיחודים של קבוצות מהסדרה.

חיתוך הוא הקבוצה של מה שמשותף לשתי קבוצות. קבוצה היא אוסף של עצמים.

אם משהו נמצא גם בקבוצה A וגם בקבוצה B, הוא נמצא ב-A∩B. אם הוא לא נמצא בשתי הקבוצות, הוא לא ב-A∩B.

אפשר גם לחתוך הרבה קבוצות יחד. משפחה של קבוצות היא רק אוסף של קבוצות. החיתוך שלהם כולל רק את האיברים שנמצאים בכל הקבוצות.

אם אין בכלל קבוצות באוסף, מגדירים את החיתוך בתוך מרחב X. אז החיתוך יהיה כל ה-X שהגדרנו.

יש גם רעיונות כמו liminf ו-limsup. אלה שמות לגבולות של סדרת קבוצות.