טור לורן

טור לורן הוא טור חזקות מהצורה Σ_{n=-∞}^∞ a_n z^n. כלומר, הוא דומה לטור טיילור אבל כולל גם חזקות שליליות, כמו 1/z.

השם מגיע מהממתמטיקאי פייר אלפונס לורן. טור לורן הוא הכללה של טור טיילור ומאפשר לתאר פונקציות מרוכבות רבות יותר. מקום שבו מפתחים את הטור הוא נקודת המרכז c, ואז מקבלים Σ_{n=-∞}^∞ a_n (z-c)^n.

הטור מתכנס לאזור צורת טבעת בין שני רדיוסים: רדיוס פנימי r ורדיוס חיצוני R. הערכים של r ו‑R נקבעים לפי קצב הגדילה של המקדמים a_n (באמצעות limsup, שהוא גבול עליון של גדלים בסדרה).

כאשר מפתחים פונקציה סביב נקודה שהיא סינגולרית מבודדת (נקודה בעייתית אחת), סוג הסינגולריות נקבע לפי מספר החזקות השליליות בטור. החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי.

- הפונקציה 1/(1-z): בתוך העיגול |z|<1 יש לה פיתוח טיילור 1+z+z^2+⋯. מחוץ לעיגול אפשר לכתוב אותה בפיתוח עם חזקות שליליות: −1/z −1/z^2 −1/z^3 −⋯. סביב z=1 הפיתוח הוא פשוט −1/(z−1).

- f(z)=sin z / z^2: משתמשים בטור טיילור של sin z ומחלקים ב‑z^2. מתקבל פיתוח שמתחיל ב‑1/z ואז ממשיך עם חזקות חיוביות של z.

- f(z)=e^{-1/z^2}: הטור שלה סביב z=0 הוא סכום של מושגים עם חזקות שליליות שונות. יש אינסוף חזקות שליליות, והרדיוס הפנימי הוא 0. לכן z=0 היא סינגולריות עיקרית (essential singularity).

לסיום, שווה להיזכר בפונקציה הממשית e^{-1/x^2}. אם נגדיר אותה להיות 0 ב‑x=0, היא חלקה מאוד (ניתנת לנגזר אינסוף פעמים) אבל לא אנליטית (הטור טיילור שלה סביב 0 הוא 0 והוא לא מתאר את הפונקציה בסביבה).

טור לורן הוא סדרה של חזקות שמכילה גם חזקות שליליות. חזקות שליליות הן למשל 1/z ו‑1/z^2. השם מגיע מהממתמטיקאי לורן.

זה דומה לטור טיילור, אבל מאפשר לתאר יותר פונקציות. מפתחים אותו סביב נקודה c, והמקום שבו הוא עובד דומה לטבעת בין שני מעגלים.

החלק עם החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי. מספר החזקות השליליות אומר לנו איזה סוג של נקודה בעייתית זו.

- 1/(1-z): בתוך המעגל הקטן היא נפתחת ל‑1+z+z^2+… . מחוץ למעגל אפשר לכתוב אותה כ‑−1/z −1/z^2 −… .

- sin(z)/z^2: אם כותבים את טור הסינוס ומחלקים ב‑z^2, מקבלים תחילה 1/z ואז חזקות חיוביות של z.

- e^{-1/z^2}: הטור שלה סביב 0 מכיל הרבה חזקות שליליות. יש אינסוף כאלה, ולכן 0 היא נקודה מיוחדת מאוד.

עוד עובדה: הפונקציה הממשית e^{-1/x^2} מוגדרת להיות 0 ב‑x=0. היא חלקה מאוד אך טור הטיילור שלה הוא 0 ולא מתאר אותה קרוב ל‑0.