אנליזה מרוכבת

אנליזה מרוכבת עוסקת בפונקציות הולומורפיות. פונקציה הולומורפית היא פונקציה שמקבלת ערכים מרוכבים (מספרים עם חלק ממשי וחלק מדומה) וניתנת לגזירה במובן המרוכב. לגזירות מרוכבת יש השלכות חזקות יותר מאשר בגזירות ממשית: פונקציות הולומורפיות ניתנות להצגה בטורי חזקות מקומיים, כמו טורי לורן, ולכן הן אנליטיות, כלומר ניתן לכתוב אותן כטור חזקות בסביבה מתאימה. עובדה נוספת היא שפונקציות כאלה גזירות אינסוף פעמים. רוב הפונקציות שהכרתם, כמו פולינומים, הפונקציה האקספוננציאלית ופונקציות טריגונומטריות, הן הולומורפיות.

אחד הכלים המרכזיים באנליזה מרוכבת הוא האינטגרל על מסילות (אינטגרל מסילתי). משפט אינטגרל קושי אומר שאינטגרל של פונקציה הולומורפית על מסילה סגורה בתחום פשוט קשר שווה ל-0. נוסחת האינטגרל של קושי מאפשרת לחשב ערך של פונקציה בתוך דיסקה בעזרת אינטגרל סביב הגבול שלה. משפט השאריות (residue theorem) משתמש בסינגולריות, נקודות שבהן הפונקציה מתנהגת באופן מיוחד, כדי לחשב אינטגרלים ממשיים.

התנהגות הפונקציה ליד סינגולריה מתוארת על ידי משפט קזוראטי-ויירשטראס. פונקציות שהסינגולריות שלהן הן קוטב או ניתנות להסרה נקראות מרומורפיות. טורי לורן דומים לטורי טיילור, אך מאפשרים לבדוק התנהגות קרובה לסינגולריות.

משפט ליוביל קובע כי פונקציה הולומורפית שחסומה בכל המישור המרוכב היא קבועה. משפט זה משמש בין השאר להוכחה קצרה של המשפט היסודי של האלגברה. עוד רעיון חשוב הוא המשכה אנליטית, הרחבת תחום ההגדרה של פונקציה על סמך ערכיה בנקודות בודדות, כמו במקרה של פונקציית זטא של רימן. תחום נוסף קשור הוא משטחי רימן, שטחים מתמטיים שבהם חוקריים פונקציות מרוכבות.

התחום התפתח בעיקר במאה ה-19. בין המפתחים הבולטים נמנים אוילר, גאוס, רימן, קושי וויירשטראס. אמיל פיקאר הוכיח את משפטי פיקארד הקטן והגדול בסוף המאה ה-19 (סביב 1879, 1880). יש לאנליזה המרוכבת שימושים בפיזיקה, בהנדסה ותורת המספרים. בעשורים האחרונים היא ניזונה גם מתמונות פרקטליות שנוצרות מחזרות של פונקציות הולומורפיות, כמו קבוצת מנדלברוט, וביישומים תאורטיים כמו תורת המיתרים.

אנליזה מרוכבת חוקרת פונקציות על מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם חלק ממשי וחלק דמוי. פונקציה הולומורפית היא פונקציה שמקבלת מספרים כאלה ו"ניתנת לגזירה", אפשר לקבל שיפוע שלה במובן המרוכב.

פונקציות הולומורפיות ניתנות לכתיבה כטור חזקות באזור מסוים. זה אומר שאפשר לקרב אותן על ידי סכום של איברים פשוטים. דוגמה פשוטה היא פולינום. פונקציות אלה גם ניתנות לגזירה שוב ושוב.

אינטגרל מסילתי הוא חישוב של פונקציה לאורך מסלול. משפט קושי אומר שאם הפונקציה הולומורפית, האינטגרל סביב מסלול סגור יכול להיות 0. יש גם כלים שמחשבים אינטגרלים על ידי בדיקה של נקודות מיוחדות שנקראות סינגולריות. חוקרים משתמשים בטורי לורן כדי להבין מה קורה ליד נקודות כאלה.

התחום גדל במאה ה-19. מתמטיקאים חשובים שבו עסקו בכך הם אוילר, גאוס ורימן. אמיל פיקאר הוכיח תוצאות חשובות around 1880. היום משתמשים באנליזה מרוכבת בפיזיקה, בהנדסה ובחקירת פרקטלים, כמו קבוצת מנדלברוט.