כדור (גאומטריה)

כדור הוא אוסף כל הנקודות במרחב שהמרחק שלהן מנקודה קבועה קטן או שווה למספר חיובי r, שנקרא רדיוס. כשהרדיוס שווה ל-1 קוראים לו כדור היחידה. פני השטח של הכדור נקראים ספירה. כדור כולל את השפה נקרא כדור סגור; בלי השפה הוא כדור פתוח.

במרחב האוקלידי התלת־ממדי נמדד אורך וקטור \\vec{x}=(x,y,z) על־ידי הנורמה \|x\| = sqrt(x^2+y^2+z^2). לכן נקודה שצורתה (x,y,z) שייכת לכדור שמרכזו בראשית אם מתקיים x^2+y^2+z^2 ≤ r^2. בנוסחה כללית למרכז (x_0,y_0,z_0) מחליפים x ב(x-x_0) וכן הלאה.

לכדור יש שטח פנים מינימלי ביחס לנפח שהוא מכיל. זאת אומרת, מבין צורות שוות נפח, הכדור הוא זה שמצריך הכי פחות שטח. לכן בטיפות מים ללא כוח חיצוני המתח הפנימי שואף ליצור צורת כדור.

ניתן להגדיר n־כדור (המסומן B_n) במרחב n־ממדי כאוסף הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה נתונה קטן מ־r. בצורה נומרית זה מתבטא בסכום ריבועי הרכיבים: x_1^2+...+x_n^2 ≤ r^2.

נוסחת הנפח הכללית היא V_n(r) = pi^{n/2}/Gamma(n/2+1) · r^n, כאשר Gamma(z) היא פונקציית גמא, הרחבה של הפעולה של עצרת (פקטוריאל) למספרים ממשיים. אפשר להציג גם ביטויים סיגנוניים לפי אם n זוגי או אי־זוגי.

שטח השפה של ה־n־כדור מתקבל כנגזרת של נפח לפי r: A_{n-1}(r)=dV_n/dr, כלומר שטח השפה פרופורציוני ל־V_n(r)/r.

בעזרת נוסחת סטרלינג מקבלים ביטוי מקורב לנפח בזמן ש־n גדול. לממדים גדולים במיוחד, עבור רדיוס קבוע, נפח ה־n־כדור שואף לאפס. כמו כן, לחלק גדול מהנפח יש נטייה להתרכז קרוב לשפה: קליפה בעובי קבוע תופסת כמעט את כל הנפח כש־n גדל.

כדור הוא כל הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה מרכזית קטן או שווה למספר r. רדיוס זהו השם למספר הזה. הספירה היא רק העור החיצוני של הכדור, כמו קליפה.

במרחב עם שלושה כיוונים, נקודה שקרובה מספיק למרכז שייכת לכדור. "מרחק" פירושו כמה רחוקה הנקודה מהמרכז.

כדור שכולל את השפה קוראים לו כדור סגור. אם אין את השפה קוראים לו כדור פתוח.

ככל שמחשבים מרחבים עם יותר ממד אחדים (ממד = דרך למדוד כיוונים), יש נוסחאות שנומרות כמה נפח יש. נפח זה גדל כמו r בחזקות, אבל בממדים רבים הנפח יכול להתנהג אחרת.

עובדה מעניינת: בצורת כדור יש הכי מעט שטח חיצוני שמקיף נפח נתון. לכן טיפת מים רוצה להתעגל וליצור כדור.