מאפיין (אלגברה)

המאפיין (נקרא גם המצביע או הקרקטריסטיקה) של שדה הוא המספר הטבעי n הקטן ביותר כך שסכום של n פעמים 1 שווה 0. אם אין מספר כזה, המאפיין הוא 0. אם המאפיין חיובי, הוא תמיד מספר ראשוני.

שדות כמו המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים בעלי מאפיין 0. שדה סופי לא יכול להיות בעל מאפיין 0. בשדה ממאפיין p מתקיים (a+b)^p = a^p + b^p. משמעות הדבר היא שהפעולה של העלאה לחזקה p היא הומומורפיזם (התאמה שמכבדת חיבור וכפל) מהשדה לעצמו. הומומורפיזם זה חד־חד־ערכי ותוצרו הוא שיכון של השדה בתוך עצמו. אם השדה סופי, ההומומורפיזם גם הוא על (זהו המקרה של הומומורפיזם פרובניוס).

ניתן להגדיר מאפיין גם לחוג עם יחידה (מערכת עם חיבור וכפל וקיום 1). המפה מ-ℤ לחוג נותנת גרעין שהוא האידיאל הנוצר על ידי המאפיין. המאפיין של תחום שלמות, מבנה שבו מכפלה של שני איברים שווה 0 מחייבת שאחד מהם 0, הוא תמיד 0 או מספר ראשוני. למרות זאת, לכל n טבעי קיים חוג בעל מאפיין n; דוגמה חשובה היא חוג המנה ℤ/nℤ. עבור חוגים ללא יחידה המאפיין הוא המספר המינימלי n שעבורו n כפול כל איבר שווה 0; זה שווה לאקספוננט של החבורה האדיטיבית שלהם.

המאפיין הוא המספר הקטן n שאם מחברים את 1 עם עצמו n פעמים מקבלים 0. אם אין כזה, המאפיין הוא 0. אם המאפיין גדול מ-0, הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק ב-1 ובעצמו.

המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים יש להם מאפיין 0. שדה סופי לא יכול להיות בעל מאפיין 0. בשדה שמאפיינו p, חישוב (a+b)^p נותן a^p + b^p. זה אומר שלקחת חזקה p משתלבת יפה עם החיבור.

ניתן לדבר גם על מאפיין של חוג. חוג הוא מערכת שבה אפשר לחבר ולהכפיל מספרים ויש בה מספר 1. יש חוגים עם כל מאפיין טבעי שאפשר להעלות בדוגמה ℤ/nℤ. בחוג בלי 1 המאפיין הוא המספר הקטן n שעושה n פעמים כל איבר שווה 0.