הומומורפיזם
הומומורפיזם הוא פעולה בין שני מבנים מתמטיים. פעולה = משהו שמקצה לכל איבר דבר אחד. הוא שומר על הכללים של המבנים, לכן מעביר תכונות מצד אחד לשני. הומומורפיזם שפיך נקרא איזומורפיזם. התמונה היא כל מה שמגיע למבנה השני מהמבנה הראשון. הגרעין הוא כל האיברים שנשלחים לאפס. אפס = האיבר הנייטרלי. במקרים כמו חב...
שיכון (מתמטיקה)
שיכון אומר שאובייקט אחד נמצא בתוך אחר. אפשר גם לומר שיש העברה מיוחדת ביניהם. אם יש פונקציה חד-חד ערכית מ-X ל-Y אז X משוכנת ב-Y. פונקציה חד-חד ערכית היא פונקציה שבה שני ערכים שונים לא יכולים לשלוח לאותו ערך. אם ל-X יש חוקים מיוחדים, למשל צורה או פעולות, המפה צריכה לשמור על החוקים. בשדות (מערכות עם...
אוטומורפיזם
אוטומורפיזם הוא פונקציה מהמבנה לעצמו. הוא שומר על כל הפעולות והוא הפיך. (הפיך = יש לה פונקציה הפוכה.) הומומורפיזם הוא פונקציה בין שני מבנים. הוא שומר פעולות ויחסים. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שיש לו הפוך. כל האוטומורפיזמים של מבנה יוצרים חבורה. חבורה היא קבוצה של פעולות שאפשר להרכיב אחת על השנייה...
משפטי האיזומורפיזם
יש שלושה משפטים חשובים באלגברה. הם מדברים על איך אפשר להחליף מבנים בחלקים שלהם ולהשוות ביניהם. אם יש העתקה שמכבדת את המבנה, הומומורפיזם (העתקה ששומרת על פעולות), אז מחלקים את המבנה לפי כל מה שנשלח לנייטרלי. הקבוצה הזאת קוראים לה גרעין (הקבוצה שנשלחת לזהות). התוצאות של ההעתקה קוראים להן תמונה. המ...
תורת החבורות
תורת החבורות חוקרת חבורות. חבורה היא קבוצה של איברים עם פעולה שמחברת ביניהם. הומומורפיזם הוא פונקציה ששומרת על המבנה של החבורה. התובנה העיקרית הגיעה מהמחשבה על החלפות בין שורשים של משוואה. המתמטיקאי אווריסט גלואה ראה שקשור פתרון המשוואה למבנה ההחלפות. רעיונותיו קיבלו הכרה אחרי מותו. אחת הפעולות המ...
הצגה ליניארית
הצגה ליניארית היא דרך לראות איברי חבורה כאופרטורים על וקטורים. אופרטור הוא פעולה שממירה וקטור לווקטור אחר. זה נעשה על ידי העתקה ששומרת על חוקי החבורה. העתקה כזו קוראים הומומורפיזם. היא אומרת: כשמכפילים שני איברים בחבורה, זה כמו להרכיב שתי פעולות על הווקטור. אם המרחב קטן אפשר לכתוב את הפעולות כמטרי...
אלומה (מתמטיקה)
אלומה היא דרך לשמור מידע מקומי על מקום מתמטי שנקרא מרחב. מרחב הוא רעיון למקום שבו יש נקודות ופתחים. לכל חלק פתוח U נשמור אוסף של דברים שנקראים חתכים. קדם אלומה נותנת לכל חלק פתוח U אוסף ותכונות צמצום. צמצום אומר לקחת את אותו דבר על חלק קטן יותר. אם לכוסיות של החלק הפתוח יש חתכים שמתאימים זו לזו בח...
חוג (מבנה אלגברי)
חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c. אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל. איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים ...
איזומורפיזם
איזומורפיזם זה התאמה בין שני דברים מתמטיים. התאמה כזו שומרת על כל הכללים והפעולות. אם יש אותה התאמה, אומרים ששני הדברים "זהים במבנה". יש שמות מיוחדים לסוגים שונים. הומיאומורפיזם הוא התאמה ששומרת על צורת המרחב. איזומטריה שומרת על מרחקים. אם יש מפה הפיכה בין שני מבנים, והיא שומרת על כל היחסים והפעול...
מאפיין (אלגברה)
המאפיין הוא המספר הקטן n שאם מחברים את 1 עם עצמו n פעמים מקבלים 0. אם אין כזה, המאפיין הוא 0. אם המאפיין גדול מ-0, הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק ב-1 ובעצמו. המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים יש להם מאפיין 0. שדה סופי לא יכול להיות בעל מאפיין 0. בשדה שמאפיינו p, חישוב (a+b)^p נו...
נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
נוסחת אוילר מחברת בין פונקציות מתמטיות מוכרות. היא אומרת שמחבר בכללים בין האקספוננטי לסינוס ולקוסינוס. אם בוחרים זווית בשם פאי, מקבלים תוצאה מיוחדת: e בחזקת i כפול פאי שווה -1. לכן e בחזקת iפאי ועוד 1 שווה 0. זהו חיבור יפה בין מספרים חשובים. כל מספר מרוכב אפשר לתאר על ידי אורך וזווית. האורך נקרא מ...