מונואיד (מבנה אלגברי)

מונואיד הוא מבנה אלגברי שמכיל קבוצה, פעולה בינארית שאסוציאטיבית (המשמעות: סדר ההכפלה לא משנה את התוצאה), ואיבר יחידה (איבר שמכפיל כל איבר ומשאיר אותו ללא שינוי). למונואיד חסרה תכונה אחת כדי להיות חבורה: לא כל האיברים חייבים להיות הפיכים.

קיימים מונואידים בגדלים קטנים: למשל שניים מסדר 2, שבעה מסדר 3, ושלושים וחמישה מסדר 4. המספרים עולים במהירות, לדוגמה, יש 2,237 מונואידים מסדר 6, בעוד שיש רק שתי חבורות מסדר זה.


איבר a נקרא "הפיך מימין" אם קיים איבר c כך שכשמכפילים a בצד שמאל ב-c מקבלים את איבר היחידה. "הפיך משמאל" מוגדר באופן דומה בעזרת מכפלה מצד שמאל. ייתכן שיהיו איברים שהם הפיכים רק מצד אחד. הפכי מימין או שמאל לא חייבים להיות ייחודיים. אם איבר הוא גם הפיך מימין וגם הפיך משמאל, אז הוא בהכרח הפיך בשני הצדדים ויש לו הפכי יחיד, שמסמנים לעתים ב-a^{-1}. מונואיד שכל איבר בו הפיך נקרא חבורה.

תת-מונואיד הוא תת-קבוצה שמכילה את היחידה וסגורה לכפל. אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד תמיד מהווה תת-מונואיד, והוא חבורה, זו נקראת חבורת ההפיכים. כמו בחוגים, מגדירים גם אידיאלים (ימניים, שמאליים או דו-צדדיים) ומונואידים מנה לגבי אידיאל. באידיאל המינימלי של מונואיד קומוטטיבי (החיתוך של כל האידיאלים) מתקבלת חבורה.

מונואידים בלי אקסיומת קיום ההפכיים הם הרבה יותר מגוונים מחבורות. תכונת הצמצום אומרת: אם ax=ay אז x=y (צמצום משמאל), ואם xa=ya אז x=y (צמצום מימין). כל מונואיד המוכל בחבורה מקיים צמצום.

ההשיכון הקרוב ביותר של מונואיד עם צמצום בחבורה נקרא "חבורת שברים": חבורה שכל איבר בה ניתן לרשום כ-a^{-1}b עם a,b מתוך המונואיד. שיכון כזה קיים בדיוק אם מתקיימת תנאי אור (Ore): עבור כל a,b יש x,y כך ש-xa=yb. מונואיד עם צמצום שמקיים זהות פורמלית מסוימת, או שיש לו גידול תת-אקספוננציאלי, מקיים גם את תנאי אור.

עבור מונואידים הנתונים לפי הצגה סופית, השאלה האם מונואיד צמצומי ניתן לשיכון בחבורה אינה בהכרח ניתנת להכרעה. עם זאת, לכל מונואיד סופי שמקיים צמצום משמאל יש שיכון בחבורה; הרעיון הוא שכפל בשמאל בהכרח הופך לפונקציה על במערך סופי, ולכן כל איבר מקבל הפכי מימין ובסוף גם הפכי משמאל, ומתקבלת חבורה. אדיאן (1960) נתן קריטריון קומבינטורי שמבטיח שיכון כזה, אך הוא אינו הכרחי. מצד שני, מלצב הראה שיש סדרה של תנאים שמספקים שיכון, ושהתנאים האלה לא ניתנים להגבלתן על ידי קבוצה סופית.

מונואידים מופיעים בתורת ההצגות של חוגים בצורה טבעית. עבור חוג R בונים את המונואיד של מחלקות איזומורפיות של מודולים מעל R תחת סכום ישר. איבר היחידה הוא המודול האפס. חקירת מנה של מונואיד כזה מביאה למושגים חשובים, בראשם חבורת גרותנדיק (Grothendieck group), שמובילה לפונקטור K0. בהקשר זה מוגדרות תכונות מופשטות של מונואידים שמתקיימות תחת הנחות מתאימות על החוג.

מונואיד הוא קבוצה עם פעולה ושם מיוחד "איבר יחידה". פעולה אסוציאטיבית אומרת שהסדר של חיבור של שלושה איברים לא משנה את התוצאה. האיבר היחידה הוא איבר שמוסיף או מוכפל ולא משנה אחרים.

יש הרבה מונואידים, אפילו כאלה עם שישה איברים. יש רק שתי חבורות עם שישה איברים, אבל מונים רבים של מונואידים.


איבר נקרא "הפיך מימין" אם יש חבר שמכפילים אותו בצד ימין ומקבלים את היחידה. "הפיך משמאל" זה דומה בצד השני. אם איבר הוא הפיך משני הצדדים, אז יש לו הפכי ייחודי. כזה איבר הופך את המונואיד לחבורה אם כל האיברים כאלו.

תת-מונואיד היא קבוצה בתוך המונואיד שמכילה את היחידה וסגורה לפעולה. האיברים ההפיכים יוצרים חבורה שנקראת חבורת ההפיכים. אפשר גם לדבר על אידיאלים, שהם קבוצות מיוחדות שמייצרות מונואיד מנה.

צמצום (cancellation) אומר שאם ax=ay אז x=y. מונואיד שמוכל בחבורה תמיד מקיים צמצום. לפעמים אפשר לשכן מונואיד בחבורה גדולה שנקראת חבורת שברים. זה קורה כשיש תנאי מסוים (תנאי אור).

בתורת ההצגות בונים מונואיד ממודולים של חוג. המחלקות של מודולים תחת סכום נותנות מונואיד. מהבנה הזאת מקבלים מושגים חשובים, כמו חבורת גרותנדיק ו-K0.