ממד (אלגברה)

באלגברה מופשטת, "ממד" הוא מספר שמתאר עד כמה אובייקט אלגברי מורכב. המונח מופיע בדוגמא הפשוטה של אלגברה ליניארית, אך יש משמעויות רבות אחרות שמודדות תכונות שונות.

ממד קרול (Krull) של חוג מוגדר כאורך המקסימלי של שרשרת אידיאלים ראשוניים בחוג. הוא יכול להיות סופי או אינסופי. דרך חלופית להגדירו משתמשת בשרשראות של תת־מודולים כשהחוג נחשב למודול על עצמו. מדד זה מראה עד כמה החוג רחוק או קרוב מלהיות ארטיני (ארטיני זה חוג שבו אין שרשראות יורדות אינסופיות של אידיאלים). בחוגי PI ובמיוחד בחוגים קומוטטיבים, ממד קרול הקלאסי שווה לממד קרול המוגדר בדרך החלופית.

למודול M מגדירים מספר ממדים: הממד הפרויקטיבי הוא האורך הקצר ביותר של "רזולוציה פרויקטיבית" שמובילה אל M. רזולוציה היא שרשרת מודולים שמסבירה את המבנה של M. באותו אופן מגדירים ממד אינג'קטיבי (רזולוציה אינג'קטיבית) וממד שטוח (רזולוציה שטוחה). פרויקטיבי, אינג'קטיבי ושטוח הם סוגי מודולים שמקיימים תכונות נוחות בבניית מפות ורזולוציות.

הממד הגלובלי של חוג הוא הערך המקסימלי של הממדים הפרויקטיביים של כל המודולים מעליו. זהה גם לערך המקסימלי של הממדים האינג'קטיביים. הממד הגלובלי שווה ל־0 בדיוק כאשר החוג הוא ארטיני פשוט למחצה. אם החוג תורשתי (hereditary), הממד הגלובלי שלו שווה ל־1. הממד הגלובלי החלש הוא הממד השטוח הגדול ביותר של מודולים מעל החוג; הוא תמיד קטן או שווה לממד הגלובלי, ובחוגים נותריים (Noetherian) הם שווים.

לגבי חבורה G, הממד הפרויקטיבי של חוג החבורה Z[G] נקרא ממד קוהומולוגי של G. מבחינה מעשית, זהו המספר n הקטן ביותר שעבורו קבוצות הקוהומולוגיה H^i(G,M) מתאפסות לכל i>n ולכל מודול M מתאים. ממד קוהומולוגי של שדה מוגדר דרך קבוצת גלואה האבסולוטית שלו. דוגמאות: לשדות כמו k(t_1,…,t_n) או לשדות קטעים פורמליים מרובים מעל שדה אלגברית סגורה יש ממד קוהומולוגי שווה ל־n.

ממד גלפנד־קירילוב מודד את קצב הגידול של אלגברה ביחס לקבוצת יוצרים שלה. ערכו הוא 0 אם האלגברה סופית־ממדית, והוא יכול להיות 1, כל מספר ממשי לא קטן מ־2, או גם אינסוף.

הממד האחיד (או ממד גולדי) של מודול M הוא מספר המרכיבים האחידים בסכום ישר שמהווה תת־מודול עיקרי (essential). אם אין סכום ישר כזה, הממד הוא אינסופי. המודול האפס הוא היחיד עם ממד 0. מודולים אחידים הם אלה שממדם 1. ממד של סכום ישר שווה לסכום הממדים, ותת־מודול תמיד בעל ממד קטן או שווה לזה של המודול. בשטח וקטורי (מרחב וקטורי) הממד האחיד הוא פשוט הממד הרגיל.

ממד הוא מספר שאומר כמה דבר מתמטי מסובך. מדברים על ממד בחוגים, שדות ומודולים. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. שדה מאפשר גם חילוק. מודול דומה למרחב וקטורי.

ממד קרול הוא האורך של שרשרת מיוחדת של אידיאלים (קבוצות פנימיות) בחוג. הוא יכול להיות קטן או גדול מאוד. אם הממד הוא 0, החוג מאוד פשוט.

יש דרכים למדוד מודול בעזרת "רזולוציות". ממד פרויקטיבי הוא כמה שלבים צריך כדי לבנות את המודול מיחידות פשוטות. יש גם ממד אינג'קטיבי וממד שטוח, שהם דרכי בנייה אחרות.

הממד הגלובלי הוא המקסימום של כל הממדים הפרויקטיביים של מודולים מעל החוג. אם הוא 0, החוג מאוד פשוט; אם הוא 1, החוג הוא תורשתי (קל יחסית בבנייה).

לחבורה יש ממד קוהומולוגי שמודד מתי קבוצות קוהומולוגיה מפסיקות להתקיים. לשדות מסוימים יש ממד קוהומולוגי שווה למספר המשתנים שלהם.

זה מודד כמה אלגברה גדלה כשמוסיפים מוצרים. הוא 0 לאלגברה בסדר סופי, וממנו יכולים לצמוח ערכים שונים.

הממד האחיד אומר כמה חלקים אחידים יש במודול. למודול אפס יש ממד 0. למודול אחיד יש ממד 1. במרחב וקטורי זהו הממד הרגיל.