מספרים ידידים

במתמטיקה זוג מספרים נקרא ידידים אם כל אחד שווה לסכום המחלקים הנכונים של האחר. מחלקים נכונים הם המספרים שמחלקים את המספר בלי שארית, בלי לכלול את המספר עצמו.

הזוג הקטן ביותר הוא (220, 284). ידידים היו ידועים כבר לפיתגוראים, והם ראו בהם משמעות מיסטית.

יש נוסחה כללית של המתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה (נוסחת תאביט). אם מתקיים:
p = 3·2^n − 1,
q = 3·2^{n−1} − 1,
r = 9·2^{2n−1} − 1
כאשר p, q, r הם מספרים ראשוניים (מספר ראשוני הוא מספר שאינו מתחלק אלא ב־1 ובעצמו), אז המספרים 2^n·r ו־2^n·p·q הם ידידים. הנוסחה נותנת למשל את הזוג (220,284) ואת הזוגות (17296,18416) ו-(9363584,9437056), אך לא את (6232,6368).

מספרים ידידים נחקרו על ידי פייר דה פרמה, רנה דקארט ולאונרד אוילר. הזוג (1184,1210) התגלה ב־1866 בידי נער איטלקי בן 16, ניקולו פגניני. עד 1946 היו ידועים רק 390 מספרים ידידים. חישובים ממוחשבים הכפילו את קצב הגילוי; עד 2007 נמצאו 11,994,387 זוגות. נכון לנובמבר 2023 ידועים 1,228,680,607 מספרים ידידים.

יש שאלות פתוחות סביבם. מספר שהוא ידיד לעצמו נקרא מספר משוכלל (מספר ששווה לסכום מחלקיו הנכונים). מספרים ידידים נחשבים מקרה פרטי של מספרים חברותיים.

בעבר שימשו המספרים כסמל לזוגיות. נהוג היה להכין שני תליונים, אחד עם 220 ואחד עם 284, ולתת כל תליון לבן זוג. במקורות יהודיים הרב אברהם אזולאי ורב נחשון גאון מזכירים שימושים רעיוניים ברעיון זה, והרב מנחם מנדל כשר מציין זאת בפירושיו.

שני מספרים נקראים ידידים אם כל אחד שווה לסכום המחלקים של השני. מחלקים הם המספרים שמתחלקים בלי שארית. לא כוללים את המספר עצמו.

הדוגמה המפורסמת היא (220, 284). אנשים עתיקים כמו הפיתגוראים ידעו על זוגות כאלה.

היה מתמטיקאי ערבי בשם ת'אבת שאמר שיש נוסחה שנותנת כמה זוגות ידידים. הנוסחה נותנת את הזוג (220,284) ואת זוגות אחרים. היא לא נותנת את כל הזוגות.

הזוג (1184,1210) התגלה ב־1866 על ידי נער איטלקי בן 16. במאה ה־20 ומאוחר יותר מחשבים מצאו הרבה זוגות. עד 2007 נמצאו מיליוני זוגות. בנובמבר 2023 היו ידועים יותר ממיליארד מספרים ידידים.

לפעמים השתמשו במספרים אלה כסמל לאהבה. אנשים הכינו שני תליונים, עם 220 ועם 284, ונתנו אחד לשני. גם מפרשים מסוימים בתנ"ך הזכירו את הרעיון הזה בעדינות.