מערכת לא-טרנזיטיבית של משתנים מקריים

קבוצה של n משתנים מקריים היא מערכת לא-טרנזיטיבית אם יש בה שרשרת X_0,…,X_{n-1} כך שלכל i מתקיים P(X_i > X_{i+1 \,\mathrm{mod}\, n}) > 1/2. זה דומה לדירוג המעגלי של אבן-נייר-מספריים.

המושג "עדיף על" פירושו: יש סיכוי גדול מ-1/2 שהמשתנה הראשון יהיה גדול יותר מהשני. קיום מערכות לא-טרנזיטיביות מראה שיחס העדיפות אינו טרנזיטיבי. כלומר, ייתכן ש־X עדיף על Y ו־Y עדיף על Z, אבל X אינו בהכרח עדיף על Z. אפשר גם לומר שאף משתנה בשרשרת אינו בעל העדיפות הגבוהה ביותר או הנמוכה ביותר, כי לכל משתנה יש מישהו שהוא עדיף עליו ומישהו שהוא מפסיד לו.

מערכת הקוביות של ברדלי אפרון כוללת ארבע קוביות A, B, C, D עם יחס מעגלי: A עדיף על B, B עדיף על C, C עדיף על D, ו־D עדיף על A. בכל אחד מהמקרים הסיכוי שהקובייה העדיפה תביא תוצאה גבוהה יותר הוא 2/3. לכן השרשרת אינה טרנזיטיבית. בנוסף, הסיכוי ש־C> A הוא 5/9, ולכן גם השלשה A,B,C אינה טרנזיטיבית.

יש דוגמה נוספת שבה כל משתנה יכול לקבל רק שני ערכים. משתמשים ב־φ, יחס הזהב (בערך 1.618) ובערך φ'≈0.618 כדי לקבוע את ההסתברויות. גם שם מתקבלת שרשרת מעגלית שבה X עדיף על Y, Y על Z, ו־Z על X, בהסתברות φ'>1/2.

משחק שני שחקנים מדגים את זה: השחקן הראשון בוחר קובייה, השחקן השני בוחר אחרי כן, ואז זורקים. אם המערכת לא-טרנזיטיבית, השחקן השני יכול להבטיח לעצמו סיכוי ניצחון גבוה מ־1/2, למרות שהשחקן הראשון בחר ראשון.

יש מצבים בהסתברות שבהם העדפות מסתובבות כמו אבן-נייר-מספריים. זה נקרא מערכת לא-טרנזיטיבית. "עדיף" כאן אומר שיש יותר מחצי סיכוי שהאחד יהיה גדול מהשני.

אפרון המציא מערכת של ארבע קוביות בשם A, B, C, D. A מנצחת את B, B מנצחת את C, C את D, ו־D מנצחת את A. בכל פעם שהקובייה ה"עדיפה" נוטה להוציא מספר גבוה יותר בשיעור של שני שלישים. לכן אין קובייה שהיא הטובה ביותר לכולם.

יש גם דוגמה עם שלושה משתנים שכל אחד מהם יכול לקבל רק שני מספרים. גם שם יוצא מעגל של עדיפויות.

אם שני שחקנים משחקים וראשון בוחר קובייה, השני בוחר אחרי כן. כשהקוביות יוצרות מעגל עדיפויות, השחקן שבוחר אחרון יכול לזכות ביותר מחצי הפעמים.