מצולע

מצולע הוא חלק ממישור שמוגבל על ידי מספר סופי של קטעים ישרים. כל קטע כזה נקרא צלע. הנקודות שבהן הצלעות נפגשות נקראות קודקודים. הזוויות בין שתי צלעות סמוכות נקראות זוויות פנימיות או פינות. צורה שבה כל צלע נפגשת רק עם שתי שכנותיה נקראת מצולע פשוט. כאשר צלעות חופפות לאורך קטע מדובר במצולע מנוון.

מצולעים נקראים לפי מספר הצלעות שלהם. דוגמאות חשובות: מרובע (4 צלעות), מחומש (5), משושה (6). אפשר ליצור אינסוף מצולעים.

לעיתים מוסיפים לשם תיאור שמפרט תכונה של המצולע, למשל אם הוא משוכלל או קמור.

בסכמה כללית, סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור עם n צלעות שווה ל-(n-2) כפול 180 מעלות. מזה נובע שסכום כל הזוויות החיצוניות הוא 360 מעלות, אם מחשבים בזווית חיצונית אחת לכל קודקוד. במצולע משוכלל (כל הצלעות והזוויות שוות) גודל כל זווית פנימית הוא 180 פחות 360 חלקי n.

ההוכחה הנפוצה בנויה משני שלבים. ראשית מחלקים (טריאנגולציה) את המצולע ל-(n-2) משולשים. סכום הזוויות במצולע שווה לסכום הזוויות בכל המשולשים יחד, ולכן מתקבל (n-2) כפול 180.
כדי להראות שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות בונים קו מקביל לאחת הצלעות דרך הקודקוד שממולה. הזוויות המתאימות שוות וזמן סכומן נותן זווית ישרה של 180 מעלות.

בהסבר בעזרת שפת 'לוגו' הצב מסתובב בזוויות חיצוניות בזמן שהוא מצייר מצולע. בסיום הוא שוב פונה לאותו כיוון, כלומר הסכום הכולל של סיבובי הצב הוא 360 מעלות. מתוך זה מקבלים את אותה נוסחה לסכום הזוויות הפנימיות.

כדי לרצף את המישור בצורת מצולעים, סכום הזוויות סביב כל קודקוד חייב להיות 360 מעלות. לכן רק המשולש המשוכלל, הריבוע והמשושה המשוכלל יכולים לרצף את המישור לבדם. בפאונים (גופים תלת־ממדיים עשויים מצולעים) סכום הזוויות בכל קודקוד קטן מ-360. רק שלוש צלעות משוכללות מאפשרות לבנות פאון משוכלל: המשולש, הריבוע והמחומש. קיימים חמישה פאונים משוכללים, שנקראים גם פאונים אפלטוניים.

מצולע הוא צורה שטוחה שעשויה מצלעות ישרות. צלע = קו שבין שני נקודות. קודקוד = הנקודה שבה שתי צלעות נפגשות. זווית = פינה שנוצרת בין שתי צלעות.

מצולעים נקראים לפי מספר הצלעות. למשל: משולש (3), ריבוע (4), מחומש (5), משושה (6).

בסיסי: בכל משולש סכום הזוויות שווה ל-180 מעלות. בכל מצולע מוסיפים 180 מעלות למשולש נוסף. לכן ריבוע (4 צלעות) יש 360 מעלות, מחומש יש 540 מעלות.

מחלקים את המצולע למשולשים. כל משולש נותן 180 מעלות. סכום הזוויות במצולע הוא סכום הזוויות בכל המשולשים.

אם צב מצייר מצולע ומסתובב בחוץ כל פעם, הוא מסתובב בסה"כ 360 מעלות. זה מוביל לאותה תוצאה על סכום הזוויות.

ריצוף = לכסות את המישור בלי פירורים. רק המשולש המשוכלל, הריבוע והמשושה המשוכלל מתאימים לריצוף לבד. פאון = גוף תלת־ממדי מפוליגונים. רק כמה מצולעים מאפשרים לבנות פאון משוכלל. יש חמישה פאונים כאלה, שנקראים גם פאונים אפלטוניים.