משוואה ליניארית

משוואה ליניארית היא משוואה שבה כל המשתנים מופיעים רק בחזקה ראשונה. הצורה הכללית היא: α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = b. הנעלמים הם המשתנים xi. המקדמים הם המספרים αi. b נקרא מקדם חופשי. המקדמים הם סקלרים, כמו מספרים ממשיים.

פתרון של המשוואה הוא קבוצה של ערכים {a1,...,an} שמכניסים לנעלמים ומקיימים את השוויון. בפיזיקה נהוג לקרוא לנעלמים דרגות חופש ולמשוואות, אילוצים. מערכות של משוואות ליניאריות חשובות כי יש שיטות אנליטיות לפתור אותן, מבדיל ממשוואות לא־ליניאריות שקשה לפתור במקרים רבים.


במקרה של משתנה אחד בלבד יש פתרון יחיד בתנאי ש־a ≠ 0. במשוואה מהצורה a x = b נקבל פתרון יחיד. (אם a שווה לאפס, המצב שונה ויכול להיות או אין פתרון או שיש אינסוף פתרונות בהתאם ל‑b.)


משוואה ליניארית בשני משתנים נראית כך: a x + b y = c. כאשר b ≠ 0 אפשר לפתור עבור y ולקבל צורת פונקציה: y = -(a/b) x - (c/b). גרף של פונקציה כזו הוא קו ישר.


במערכת הצירים הקרטזית כל נקודה במישור מקבלת זוג מספרים (x,y). עבור משוואה ליניארית בשני משתנים הגרף הוא ישר. בצורה המקובלת כותבים y = m x + n, כאשר m נקרא שיפוע ו‑n הוא חיתוך עם ציר ה‑y (הערך של y כש‑x=0). השיפוע m מודד את השינוי ב‑y ביחס ל‑x: m = Δy / Δx. אפשר גם לראות m כ tangent של הזווית בין הישר לציר ה‑x.

נוסחאות שימושיות: משוואת ישר עם שיפוע m העובר דרך הנקודה (a,b) ניתנת על ידי y - b = m (x - a). המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות (a1,b1) ו‑(a2,b2) ניתנת על ידי החישוב של השיפוע m = (b2 - b1)/(a2 - a1) ואז הצבתו בצורת הישר.


משוואה ליניארית במשתנים רבים ניתנת על ידי: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + b = 0. אפשר לבודד כל משתנה xj ולרשום אותו כפונקציה של האחרים. למשל
xj = -b/a_j - ∑_{i≠j} (a_i/a_j) x_i.


כאשר יש כמה משוואות צריך למצוא פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת m משוואות ב‑n נעלמים נכתבת בעזרת מקדמים שונים לכל משוואה. אם כל b1 = b2 = ... = bm = 0 קוראים למערכת הומוגנית.


מערכות ליניאריות נוח להציג בעזרת מטריצות. אוספים את המקדמים במטריצה A בגודל m×n, את הנעלמים בווקטור x ואת המקדמים החופשיים בווקטור b. אז המערכת נכתבת בקצרה כ‑A x = b. הצגה זו מפשטת חישובים ושיטות פתיחה כמו איזון שורות, חישוב דטרמיננטות או שימוש באלגברה ליניארית כדי למצוא פתרונות.

משוואה ליניארית היא שוויון שבו כל המשתנים מופיעים רק פעם אחת. המשתנים קראו להם נעלמים. המספרים שלפני הנעלמים קראו להם מקדמים. המספר הבודד בצד נקרא מקדם חופשי.


אם יש רק משתנה אחד אז בדרך כלל יש פתרון אחד, כל עוד המספר שליד המשתנה לא שווה לאפס.


משוואה עם שני משתנים מציירת קו ישר על נייר גרף. בצורת y = m x + n, m הוא השיפוע. השיפוע אומר כמה היורד או העלייה של הקו לכל צעדים בצד. n הוא המקום שבו הקו חותך את הציר האנכי.


כשיש כמה משוואות יחד קוראים לזה מערכת. מחפשים ערכים שמתאימים לכולן.


אפשר לכתוב את כל המספרים בטבלה שנקראת מטריצה. זה עושה את החישוב מסודר ונוח.