משוואה ממעלה שלישית

משוואה ממעלה שלישית היא ax^3+bx^2+cx+d=0. הפתרון הכללי נתגלה בתחילת המאה ה-16 על ידי מתמטיקאים איטלקים, בראשם דל פרו, טרטליה וקרדאנו. קרדאנו פרסם את הפתרונות והשלים מקרים חסרים, והדבר סייע להכרה במספרים מרוכבים, מספרים שבאים לידי ביטוי כאשר כמעט כל החישובים נעשים עם שורשים מרוכבים.

ניתן להעביר את המשוואה לצורה שבה המקדם של x^2 נעלם. עושים זאת על ידי החלפה x=y-
\frac{b}{3a}. מקבלים "משוואה מנוונת" מהצורה y^3+ey+f=0.

דרך פשוטה להבין פתרון היא להציב x=A+B. חישוב מראה שצריך לקיים p=-3AB ו-q=A^3+B^3 (עבור הצורה x^3+px+q=0). לכן A^3 ו-B^3 הם שורשי משוואה ריבועית שניתן לפתור. אחרי שמוצאים A^3 ו-B^3 מוציאים שורשים שלישיים ומקבלים A ו-B, ואז x=A+B.

הצעד המעשי: להחליף x=y-b/(3a), לקבל y^3+ey+f=0. משתמשים בהצבה y=z+s/z (הנקראת המרת וייטה) עם s=-e/3. אחרי כפל והתאמות מקבלים משוואה בתצורת z^6+fz^3-
\frac{e^3}{27}=0. נגדיר w=z^3; נותרת משוואה ריבועית w^2+fw-
\frac{e^3}{27}=0. פותרים אותה, מקבלים שני ערכי w. כל w נותן שלושה ערכי z (שורשיושלישי), ומשם בעזרת y=z+s/z חוזרים ל-y ולבסוף ל-x באמצעות x=y-b/(3a). בסופו של התהליך מקבלים שלושה שורשי x שונים בדיוק כפי שציפינו.

דוגמה פשוטה: המשוואה y^3-6y^2-67y+360=0 הובאה להצורה x^3-79x+210=0 דרך x=y-2. בסוף הפתרון מצאנו את השורשים המספריים של x: -10, 3 ו-7; כלומר השורשים של y הם -8, 5 ו-9.

בדוגמה אחרת, x^3-9x^2+36x-80=0 מצאנו בסופו של דבר שורש ממשי x=5 ושני שורשים מרוכבים 2±2i√3.

יש נוסחה ישירה (נוסחת קרדאנו) שנוסחתה כוללת חישוב q,r ואז חישוב שורשים מעורבים s,t, ולבסוף שלושת הפתרונות x_1,x_2,x_3. בשיטה זו חייבים לעתים לעבוד עם שורשים מרוכבים, וזה חלק מהטבע של המשוואות ממעלה שלישית.

לדיסקרימיננטה של פולינום ממעלה שלישית תפקיד בקביעת מספר השורשים הממשיים. עבור צורה λ^3-aλ+b היא Δ=4a^3-27b^2. אם Δ>0 יש שלושה שורשים ממשיים. אם Δ<0 יש שורש ממשי אחד ושני שורשים מרוכבים (צמודים זה לזה).

משוואה ממעלה שלישית היא משוואה עם x בחזקה שלישית, למשל ax^3+bx^2+cx+d=0. פתרון כללי למשוואות כאלה נמצא במאה ה-16 על ידי מתמטיקאים איטלקים. הם הבינו שגם "מספרים מרוכבים" חשובים. מספר מרוכב הוא מספר שיש לו חלק אמיתי וחלק מיוחד בשם i.

ניתן לשנות את המשתנה כדי להעלים את x^2. זה הופך את המשוואה לפשוטה יותר.
אחרי זה מניחים x=A+B. מקבלים משוואה פשוטה עבור A^3 ו-B^3. פותרים משוואה ריבועית, מוציאים שורשים שלישיים, ומקבלים את A ו-B. לבסוף x=A+B נותן את הפתרונות.

במשוואה y^3-6y^2-67y+360=0 מצאו בסוף את השורשים: y=-8, 5 ו-9. אלה המספרים שגורמים למשוואה להתאפס.

משוואה כזו יכולה לתת עד שלושה שורשים. הדיסקרימיננטה (מספר שמחשבים מהמקדם) אומרת כמה שורשים ממשיים יהיו: אם היא חיובית יש שלושה ממשיים. אם היא שלילית יש רק אחד ממשי ושניים מרוכבים.