משוואת ברנולי

משוואת ברנולי היא נוסחה בהידרודינמיקה ובאווירודינמיקה שמתארת את צורת הזרימה של נוזל או גז ניוטוני. נוזל ניוטוני הוא נוזל שהתכונות שלו לא משתנות כשהוא נשפך בקצב שונה. הנוסחה פותחה על ידי דניאל ברנולי ופורסמה ב-1738.

העיקרון המרכזי, עקרון ברנולי, אומר שכשמהירות הזרימה של הזורם גדלה, הלחץ שהוא מפעיל יורד. זאת הסקה של חוק שימור האנרגיה: סכום האנרגיה הקינטית (תלויית מהירות) והאנרגיה הפוטנציאלית נשמר.

המשוואה ברמה פשוטה מקיימת כי בכל נקודה בזרימה הערך P + \rho g h + \rho v^2 קבוע. כלומר, בין שתי נקודות 1 ו-2 מתקיים:
P_1 + \rho g h_1 + \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \rho v_2^2.

הנוסחה תקפה תחת הנחות כלליות על סוג הזרימה. היא נמצאת בשימוש בעיקר במקרים של זורם שאינו צמיג מדי ולזרימות שקרובות ליציבות.

עקרון ברנולי חשוב מאוד בהנדסה אווירונאוטית. זרימת האוויר מעל כנף המטוס מהירה יותר מאשר מתחתיה. הפרש המהירויות הזה גורם להבדל בלחצים וליצירת כוח עילוי שמרים את המטוס.

עקרון ברנולי גם מסביר חלקית איך מפרשים עובדים. זרם אוויר מהיר בין חלקי המפרש משנה לחצים, ומאפשר לשוט קרוב לכיוון הרוח. השימוש במפרשים משולשים שיפר את יכולת הניווט של ספנות ההיסטורית.

עקרון ברנולי מנוצל בכלים כמו אוחזים איירודינמיים. הם משתמשים בלחץ נמוך שנוצר בזרימה כדי לאחוז חפצים בלי מגע חזק.

אפשר לגזור את המשוואה מתוך חוק שימור האנרגיה: העבודה שעושה הלחץ שווה לשינוי באנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של הנוזל. בהוכחה מחשבים את העבודה על נפח קטן של זורם ועוברים אל ביטוי הכולל לחץ, צפיפות, גובה ומהירות. לאחר צמצום מתקבלת הצורה הפשוטה של המשוואה.

יש גרסה כללית לזרימות שאינן יציבות בזמן. במקרה כזה מגדירים פוטנציאל מהירות, וניתן לכתוב משוואה שמכילה נגזרת חלקית בזמן של פוטנציאל זה. גרסה זו שימושית לניתוח גלי ים ואקוסטיקה, והיא חוזרת לצורה הסטטית כאשר הפוטנציאל אינו משתנה בזמן.

משוואת ברנולי מתקבלת גם מתוך משוואות אוילר לשימור התנע. עבור זרימה דו־ממדית במישור אנכי מבצעים אינטגרציה לפי אורך קו הזרם, ומקבלים קשר בין השינויים בזמן של פוטנציאל המהירות, האנרגיה הקינטית, הלחץ והגובה.

המשוואה הסטטית מאפשרת להסביר מדוע מהירות היציאה של מים מפיה קשורה לגובה המים. בגרסה הפוטנציאלית ניתן גם להעריך את זמן ההתייצבות של הזרימה כשפותחים פיה: זמן אופייני תלוי באורך הפיה ובעומק מתחת לפני המים, ומייצג את משך ההאצה עד הגעה למהירות היציבה.

משוואת ברנולי מדברת על מים ואוויר שנעים. דניאל ברנולי כתב עליה ב-1738.

הרעיון העיקרי: כשנוזל או אוויר זורם מהר יותר, הלחץ שהוא מפעיל קטן יותר. לחץ זה הוא הכוח שהנוזל מפעיל על המשטח.

זה מסביר למה מטוסים עפים. האוויר מעל הכנף נע מהר יותר מאשר מתחתיה. זה יוצר לחץ קטן מעל הכנף ולחץ גדול מתחתיה. ההבדל הזה דוחף את המטוס למעלה.

גם מפרשים משתמשים בעקרון הזה. זרימת אוויר מהירה סביב המפרש משנה לחצים ועוזרת לספינה לזוז.

במפעלים קוראים לזה כדי להחזיק דברים עם זרמי אוויר חזקים בלי לגעת בהם.

הסבר פשוט: האנרגיה של הנוזל נשמרת. כשמהירות גדלה, חלק מהאנרגיה עובר לצורה של תנועה, ולכן הלחץ קטן.

יש גם גרסה שמדברת על מקרים שבהם הזרימה משתנה בזמן. היא עוזרת להבין גלים וקולות במים ובאוויר.

המחקר גם מסביר למה מים שיוצאים מפיה יוצאים במהירות תלויה בגובה המים. כשפותחים פיה, לוקח זמן עד שהמים מגיעים למהירות קבועה.