מספרי ברנולי
מספרי ברנולי הם סדרה של מספרים שמצא יאקוב ברנולי. הם עוזרים לחשב סכומים של חזקות בקלות. למשל חישוב של 1^{10}+2^{10}+... עד מספר גדול. כמה ערכים פשוטים: B_0=1, B_1=-1/2, B_2=1/6. רוב האיברים עם אינדקס אי-זוגי שווים לאפס, חוץ מ-B_1. יש נוסחה מיוחדת שמציגה אותם בתוך ביטוי שמשתמש ב-e^x (הפעולה שמגבירה...
משפחת ברנולי
משפחת ברנולי היתה משפחת סוחרים משווייץ. המשפחה באה במקור מאנטוורפן. האב עבר לבזל ב־1620. הברנולי היו מתמטיקאים במשך שלושה דורות. מתמטיקאים הם אנשים שעוסקים במספרים. שני אחים חשובים הם יאקוב ויוהאן ברנולי. הם עבדו על חשבון אינפיניטסימלי. חשבון אינפיניטסימלי זה כלי לחישוב שינויים ולמדידת שטחים. דניאל ...
אי-שוויון ברנולי
אי-שוויון ברנולי אומר משהו פשוט: אם x גדול מ־-1 ו־n הוא מספר שלם לא שלילי, אז להעלות את 1+x בחזקת n נותן תוצאה לא פחותה מ־1 ועוד n פעמים x. המשפט הזה עוזר להבנה של רשימות מספרים שעולות או יורדות. לדוגמה, הביטוי (1+1/n)^n גדל כשה־n גדול, והביטוי (1+1/n)^{n+1} קטן. הגבול המשותף של שתי הרשימות הוא מספ...
הנחת אוילר-ברנולי
הנחה זו אומרת: כשקורה (חלק ארוך שמחזק בניין או מטוס) מתכופפת, חתך שטוח שניצב לציר הקורה יישאר שטוח וניצב גם אחרי הכיפוף. זה נכון בעיקר כשהקורה ארוכה הרבה יותר מרוחבה. לפעמים ההנחה לא נכונה. בתאונת בואינג המנוע נפל כי פין חיבור נקרע. בדיקה הראתה שהפין היה כמעט ריבועי ביחס 1:1.5, ולא ארוך מספיק, ולכ...
התפלגות ברנולי
התפלגות ברנולי היא מצב שבו יש רק שני תוצאות. קוראים להן הצלחה וכישלון. הצלחה קורית בהסתברות p. כישלון קורא בהסתברות q, שזה 1 פחות p. אם נסמן הצלחה ב־1 וכישלון ב־0, המשתנה לוקח רק את הערכים האלה. בדוגמה של קובייה הוגנת, הסיכוי לקבל 6 הוא p = 1 מתוך 6. אם 6 היא הצלחה, אז זהו משתנה ברנולי עם p = 1/6. ...
משוואת ברנולי
משוואת ברנולי מדברת על מים ואוויר שנעים. דניאל ברנולי כתב עליה ב-1738. הרעיון העיקרי: כשנוזל או אוויר זורם מהר יותר, הלחץ שהוא מפעיל קטן יותר. לחץ זה הוא הכוח שהנוזל מפעיל על המשטח. זה מסביר למה מטוסים עפים. האוויר מעל הכנף נע מהר יותר מאשר מתחתיה. זה יוצר לחץ קטן מעל הכנף ולחץ גדול מתחתיה. ההבדל ...
דניאל ברנולי
דניאל ברנולי (1700, 1782) היה מדען שווייצרי. הוא גדל ועבד בבזל. הוא התחיל כרופא ולמד גם מתמטיקה ופיזיקה. ברנולי חקר איך נוזלים ואוויר זורמים. העיקרון שלו אומר: אם נוזל זורם מהר, הלחץ בו יורד. זה חשוב למטוסים ולסירות. הוא כתב ספר גדול בשם Hydrodynamica על תנועת מים ונוזלים. חקר גם את פעולת הלב, התכ...
יאקוב ברנולי
יאקוב ברנולי (1654, 1705) היה מתמטיקאי משווייץ. הוא אהב מספרים וצורות. נולד בבזל. למד דת ומתמטיקה. טייל בצרפת, בהולנד ובאנגליה ופגש מדענים חשובים. ב-1687 הפך לפרופסור למתמטיקה בבזל. ב-1684 נשא יהודית סטופנוס. היו לו בן ובת. הוא נפטר ב-16 באוגוסט 1705. ברנולי עבד על בעיות של טורים אינסופיים (רצף...
יוהאן ברנולי
יוהאן ברנולי נולד בבזל ב-1667 ומת בשנת 1748. הוא היה מתמטיקאי מפורסם מתוך משפחה של מתמטיקאים. הוא למד רפואה בהתחלה אבל אהב מתמטיקה יותר. הוא למד אצל אחיו יאקוב והחל לפרסם עבודות במתמטיקה. ברנולי עבד על "חשבון אינפיניטסימלי". זאת שיטה במתמטיקה שחוקרת שינויים מאוד קטנים. ב-1696 הציג בעיה מפורסמת בש...
המרקיז דה לופיטל
גיום פרנסואה אנטואן דה לופיטל (1661, 1704) היה מתמטיקאי מצרפת. הוא ידוע בגלל כלל לופיטל. כלל לופיטל עוזר לחשב גבולות. גבול הוא מה שקורה לערך כשמתקרבים לנקודה. דה לופיטל נולד בפריז. הוא התחתן עם מארי שרלוט דה רומילי. בהתחלה רצה להיות חייל. הראייה שלו הייתה חלשה. לכן למד מתמטיקה במקום זאת. הוא פתר בע...
פונקציית התפלגות
פונקציית התפלגות (CDF) אומרת מה ההסתברות שמשתנה מקרי X יהיה קטן או שווה למספר a. זו דרך להגיד כמה סיכוי יש לאירועים שונים. הערכים של הפונקציה תמיד מתחילים ב-0 ומסתיימים ב-1. זה אומר שאין פחות מ-0 ולא יותר מ-1. הפונקציה אף פעם לא יורדת. אם מתקרבים מימין לנקודה, הערכים לא קופצים בפתאומיות. אם X זה ה...
מספר ראשוני רגולרי
מספר ראשוני רגולרי הוא מספר ראשוני גדול מ-2 עם תכונה מיוחדת בחוג מיוחד. שורש יחידה מסדר n הוא מספר שמעלים אותו בחזקת n מקבלים 1, ולא בחזקות קטנות יותר. החוג הציקלוטומי הוא קבוצה של מספרים שמכילה את כל המספרים השלם ואת שורש היחידה. מספר ראשוני p הוא רגולרי אם הוא לא "מחלק" מספר חשוב של החוג הזה. כלו...
ברכיסטוכרון
ברכיסטוכרון היא העקומה שמביאה זמן נסיעה קצר ביותר. חרוז זולג על תיל בלי חיכוך. כוח הכבידה (המשיכה למטה) משפיע עליו. הקו הישר אולי קצר, אבל הוא לא הכי מהיר. על תיל שקמור כלפי מטה החרוז יכול להאיץ מהר יותר. הצורה המהירה נקראת ציקלואידה. ציקלואידה היא עקומת גל שנוצרת על ידי נקודה על גלגל מתגלגל. הח...
כלל לופיטל
כלל לופיטל עוזר לחשב גבולות שקשה לדעת מיד מה הערך שלהם. גבולות כאלה מופיעים בצורות 0/0 ו־∞/∞. הרעיון הוא להחליף את המונה והמכנה בנגזרות שלהם. אם שתי פונקציות מתקרבות ל־0 ליד נקודה a והן ניתנות לגזירה, ואם הגבול של היחס בין הנגזרות קיים, אז גם הגבול של היחס בין הפונקציות קיים והוא שווה לו. (נגזרת ...
נוזל
נוזל הוא מצב של חומר שנשפך ומקבל את צורת הכלי. דוגמאות פשוטות: מים, בנזין וחלב. הלחץ בתוך נוזל גדל ככל שמעמיקים. זה תלוי גם בכמה צמיג החומר (צפיפות) ובכוח המשיכה של כדה"א. צפיפות היא כמה חומר יש בנפח מסוים. לנוזלים יש "מתח פנים". מתח פנים זה כמו יריעה דקה על פני המים. נוזלים מחממים ומתאדים לגז. ...
משפט הגבול המרכזי
משפט הגבול המרכזי אומר: אם לוקחים הרבה דברים אקראיים ודומים ומממוצעים אותם, התוצאה בדרך כלל נראית כמו עקומת פעמון. עקומת פעמון זו נקראת התפלגות נורמלית. אם יש רבים מאותה תופעה אקראית עם אותו ממוצע ושונות, הממוצע שלהם מתקרב למה שנקרא 'נורמלי' כשמספר התצפיות גדול. נניח שמבצעים n ניסויי מטבע או ניסוי...
רשת בייסיאנית
רשת בייסיאנית היא ציור של חצים שמראה איך דברים קשורים זה לזה. כל נקודה מייצגת דבר שיכול להשתנות. ליד כל נקודה יש טבלה של הסתברויות. טבלה זו אומרת כמה סביר כל מצב. רשתות כאלה עוזרות למחשבים לנחש דברים. למשל להבחין דואר זבל וטקסטים שונים. רעיון דומה שימש כבר בעבר בבדיקת ראיות ובמדעים. חוק בייס אומר ...
התפלגות בינומית
התפלגות בינומית מספרת כמה הצלחות יהיו מתוך n ניסיונות. ניסוי ברנולי הוא ניסיון עם שתי תוצאות: הצלחה או כישלון. ההסתברות להצלחה בכל ניסיון נקראת p. ההסתברות לכישלון נקראת q, והיא שווה ל־1-p. אם רוצים בדיוק k הצלחות, מחשבים את מספר הדרכים לבחור אותן. מכפילים את זה ב־p^k וב־q^{n-k}. כך מקבלים את ההסת...
התפלגות בדידה
התפלגות בדידה אומרת אילו ערכים יכולים לצאת במזל. משתנה מקרי זהו ערך שקובע התוצאה לפי מזל. יש ערכים שניתן לספור. למשל: {1, 3, 7}. להם נותנים הסתברויות כמו 0.2, 0.5 ו-0.3. ערכים אחרים יקבלו הסתברות אפס. הטלת קובייה היא דוגמה פשוטה. יש שש תוצאות, וכל תוצאה שווה בדרך כלל. גם שאלת כן/לא היא דוגמה. היא ...
תבנית:הידעת? 11 במאי - סדרה 2
השם הגיע מהמרקיז דה לופיטל. אבל מי שגילה את הרעיון היה יוהאן ברנולי. ב-1694 לופיטל חתם על עסקה עם ברנולי. לופיטל נתן לברנולי 300 פרנקים בשנה. כך קיבל לופיטל זכויות על תגליותיו של ברנולי. הכלל הופיע לראשונה בספר של לופיטל על חשבון אינפיניטסימלי. זה ענף במתמטיקה שעוסק בשינויים מאוד קטנים. אחרי שלו...
כוח עילוי
עילוי הוא הכוח שדוחף גוף כלפי מעלה בתנועה באוויר. זה מה שעוזר למטוס לעוף. כשהאוויר נע סביב כנף, הוא יכול לזרום מהר יותר מעל הכנף. כשאוויר נע מהר, הלחץ שלו קטן. "לחץ סטטי" הוא הלחץ שפועל לכל הכיוונים. ההבדל בלחץ בין חלקי הכנף מייצר כוח שמרים את הכנף. דוגמה פשוטה: עפיפון קשור בחוט והרוח דוחפת אותו כ...
רוח קטבטית
רוח קטבטית היא רוח שנושבת במורד ההר. השם מגיע מיוונית ומשמעותו "ללכת מטה". בלילה הקרקע מתקררת. האוויר ליד הקרקע נהיה קר וכבד. האוויר הכבד זורם מטה במורד ההר. כשהרוח עוברת בערוצים צרים היא מאיצה. זה נקרא "תיעול", כלומר הרוח נכנסת לתעלה וזורמת מהר יותר. בדרך כלל רוחות כאלה חלשות, עד כ־18 קמ"ש. לעיתי...
משוואה דיפרנציאלית רגילה
משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה מופיעה נגזרת. נגזרת היא קצב שינוי. זה אומר כמה משהו משתנה כשהזמן או מספר אחר משתנה. משוואות כאלה עוזרות לתאר תופעות בטבע. הן מופיעות בפיזיקה, בכימיה, במזג אוויר, בבני חיים ובכלכלה. דוגמה פשוטה היא חוק ניוטון: כוח מקושר לתנועה של גוף. שם המיקום x תלוי בזמן t....
עקרון ונטורי
כשהנוזל זורם בצינור שהוא צר במקום אחד, הוא נע שם מהר יותר. מהירה גדולה גורמת ללחץ להיות נמוך שם. לחץ זהו הכוח שהנוזל מפעיל. לחץ נמוך יכול לגרום למשיכה פנימה, כמו יניקה עדינה. זה קורה כי חלק מהאנרגיה הולכת לתנועה של הנוזל. כשהצינור מתרחב שוב, הנוזל מאט והלחץ עולה. השם ונטורי מגיע מהמדען ג'ובאני ...
פירוק לשברים חלקיים
פירוק לשברים חלקיים מפצל שבר גדול לשברים קטנים ופשוטים. שבר כזה הוא יחס בין שני פולינומים. פולינום הוא סכום של חזקות של x. מראש מפצלים את המכנה לחלקים קטנים שאי אפשר לפרק עוד. אחר כך כותבים את השבר כסכום של חלקים שכל אחד מהם קל יותר. השבר (x+3) על (x^2-3x-40). מכפילים ומוצאים שהמכנה שווה ל-(x-8)(x...
מכניקת הזורמים
מכניקת הזורמים חוקרת נוזלים וגזים. זורמים מקבלים את צורת הכלי בו הם נמצאים. ארכימדס חקר נוזלים והמציא את בורג ארכימדס. טוריצ'לי המציא את המד לחץ ב-1643. ברנולי הסביר קשר בין מהירות ולחץ ב-1739. חוקרים רבים מתייחסים לזורם כרציף. זה אומר שמתייחסים אליו כחומר חלק, לא כמולקולות קטנות. חוקים חשובים מס...
התפלגות גאומטרית
התפלגות גאומטרית עוזרת לדעת כמה ניסיונות צריך עד הצלחה ראשונה. אפשר לספור שני דברים. או לספור ניסיונות עד ההצלחה. או לספור כישלונות לפני ההצלחה. p היא ההסתברות להצלחה בכל ניסיון. 'הסתברות' זה הסיכוי שמשהו יקרה. לדוגמה, אם מחפשים 1 בקובייה, ההסתברות להצלחה בכל זריקה היא 1 מתוך 6. אם p גדול, בדרך כ...
אווירודינמיקה
אווירודינמיקה עוסקת איך גופים נעים באוויר וכיצד האוויר משפיע עליהם. זה חשוב במטוסים וברכבים. מחשבות על אוויר היו מאז העת העתיקה. ברנולי גילה יחס בין לחץ לאוויר ומהירות. האחים רייט הטיסו מטוס ראשון ב-1903. יש ארבעה כוחות חשובים: - משקל: הכוח שמושך כל דבר למטה. (כוח הכבידה) - עילוי: כוח שמרים כלי בע...
עדה לאבלייס
אוגוסטה עדה קינג, הרוזנת מלאבלייס (1815, 1852) הייתה מתמטיקאית מאנגליה. רבים קוראים לה המתכנתת הראשונה. היא כתבה הוראות למחשב מכני של צ'ארלס בבג'. מחשב מכני הוא מכונה שעושה חישובים בלי שבעלי חשמל היו בה. היא הייתה בתו של המשורר לורד ביירון. אמה חינכה אותה והדגישה מתמטיקה. עדה חלתה בילדותה וקיבלה חי...