פונקציית התפלגות

פונקציית התפלגות (CDF) של משתנה מקרי X היא פונקציה שמקצה לכל מספר a את ההסתברות שהמשתנה יהיה קטן או שווה ל-a. בפורמליזם: F_X(a)=Pr(X ≤ a). זוהי הכללה של פונקציית ההסתברות עבור משתנים בדידים גם למשתנים רציפים.

פונקציית ההתפלגות תמיד מקיימת ארבע תכונות חשובות. קודם כל הגבול כאשר a שואף ל-
מינוס אינסוף שווה 0, וכאשר a שואף לאינסוף שווה 1. כלומר הערכים שלה מתחילים ב-0 ומסתיימים ב-1. שנית, היא מונוטונית עולה, אם a≤b אז F(a)≤F(b). שלישית, היא רציפה מימין: הערך ב-b שווה לגבול של הערכים שמתקבלים ממספרים הגדולים מעט מ-b.

להפך נכון גם: כל פונקציה שממלאת את ארבע התכונות האלה היא פונקציית התפלגות של משתנה מקרי כלשהו. ההבדלים בין משתנים בדידים ורציפים נראים בגודל הקפיצות של F: ההסתברות שהמשתנה שווה לנקודה b היא ההפרש בין F(b) ובגבול השמאלי שלה. אם אין קפיצות, סיכוי לנקודה בודדת הוא אפס. אם F גזירה, אז קיימת פונקציית צפיפות f כך ש-F(x)=∫_{-∞}^x f(t) dt.

אם X היא תוצאת הטלת קובייה הוגנת (1, 6), כל ערך מופיע בהסתברות 1/6. לכן F(x)=0 לכל x<1; F(x)=1/6 לכל 1≤x<2; וכן עד F(x)=1 לכל x≥6.

אם X מקבלת רק 0 או 1, עם Pr(X=1)=p, אז F(x)=0 ל-x<0; F(x)=1-p ל-0≤x<1; ו-F(x)=1 ל-x≥1. כלומר ההסתברות ש-X קטן או שווה ל-0 היא 1-p.

אם X מתפלג אחיד בקטע [0,1], אז F(x)=0 ל-x<0, F(x)=x לכל 0≤x≤1 (כי ההסתברות עד x היא השבר x מתוך 1), ו-F(x)=1 ל-x>1.

פונקציית התפלגות (CDF) אומרת מה ההסתברות שמשתנה מקרי X יהיה קטן או שווה למספר a. זו דרך להגיד כמה סיכוי יש לאירועים שונים.

הערכים של הפונקציה תמיד מתחילים ב-0 ומסתיימים ב-1. זה אומר שאין פחות מ-0 ולא יותר מ-1. הפונקציה אף פעם לא יורדת. אם מתקרבים מימין לנקודה, הערכים לא קופצים בפתאומיות.

אם X זה התוצאה של הטלת קובייה (1 עד 6), אז ההסתברות ל-X≤1 היא 1/6. למספרים בין 1 ל-2 היא 1/6, וכך הלאה. ל-X≤6 ההסתברות היא 1.

אם X יכול להיות רק 0 או 1, וההסתברות ל-1 היא p, אז ההסתברות ל-X≤0 היא 1-p. ל-X≤1 ההסתברות היא 1.

אם X בקטע מ-0 עד 1 בצורה שווה, אז ההסתברות ל-X≤x היא פשוט x כאשר 0≤x≤1. מתחת ל-0 ההסתברות 0, ומעל 1 היא 1.