משוואת פואסון

משוואת פואסון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית שמקשרת בין אופרטור לפלס (Laplacian) לפונקציות מרחביות:

∇^2 φ = f

אופרטור לפלס (Laplacian) מודד את סכום השינויים השניים של פונקציה סביב נקודה. במרחב תלת־ממדי במערכת קרטזית היא נראית כך:

(∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2) φ(x,y,z) = f(x,y,z).

אם f=0 המשוואה הופכת למשוואת לפלס והפתרון נקרא פונקציה הרמונית. משוואת פואסון ניתנת לפתרון באמצעות פונקציית גרין או בשיטות נומריות, למשל רלקסציה.

באלקטרוסטטיקה פואסון מתארת את הקשר בין הפוטנציאל החשמלי Φ לצפיפות המטען ρ:

∇^2 Φ = −ρ/ε0

כאן Φ הוא הפוטנציאל החשמלי, ρ היא צפיפות המטען ו-ε0 היא הפרמיטיביות של הריק. באזור ללא מטען (ρ=0) מקבלים שוב את משוואת לפלס.

לתפלגות מטען גאוסיאנית סופר-סימטרית תלת־ממדית יש צפיפות של הצורה ρ(r)= Q/(σ^3(√2π)^3) e^{−r^2/(2σ^2)}. הפתרון של פואסון עבורה הוא

Φ(r) = (1/(4πε0)) (Q/r) erf(r/(√2σ)),

כאשר erf היא פונקציית השגיאה. עבור r הרבה יותר גדול מ־σ, erf מתקרבת ל־1 והפוטנציאל מתנהג כמו פוטנציאל של מטען נקודתי (1/(4πε0)) Q/r. ניתן לבדוק את הפתרון על ידי חישוב הלפלסיאן של Φ.

משוואת פואסון עוזרת למצוא פוטנציאל חשמלי. היא נכתבת כך: Δφ = f.

Δ (לפלסיאן) אומר כמה הפונקציה משתנה סביב נקודה. אם f=0 קוראים לזה משוואת לפלס.

באלקטרוסטטיקה המערכת מקשרת בין פוטנציאל Φ למטענים. הנוסחה הבסיסית היא: ∇^2 Φ = −ρ/ε0.
Φ הוא הפוטנציאל החשמלי. ρ היא צפיפות המטען. אם אין מטען (ρ=0) מקבלים משוואת לפלס.

אם המטען פרוש כמו ענן גאוסיאני, יש נוסחה לצפיפות ρ(r). הפוטנציאל שמקבלים מכיל את פונקציית ה‑erf. erf היא פונקציה מתמטית שמקבלת ערך בין 0 ל־1. מרחוק, הפוטנציאל הזה דומה לפוטנציאל של מטען נקודתי.