משוואת החום

משוואת החום (או משוואת הולכת החום, ומשוואת הדיפוזיה) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית. היא מתארת איך חום זורם בגוף מרחבי עם הזמן. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19.

בצורתה הכללית המשוואה קובעת שהשינוי של טמפרטורה בזמן שווה לסטייה הכוללת של הגרדיאנט שלה כפול מקדם דיפוזיה. מקדם הדיפוזיה (α) מייצג כמה טוב החומר מוליך חום. כאשר α קבוע, משתמשים באופרטור הלפלסיאן (∇²), שהוא סכום הנגזרות השניות לפי הצירים.

מבחינה מתמטית משוואת החום זהה למשוואת הדיפוזיה. במשוואת הדיפוזיה המנהגת היא צפיפות חומר φ, ומקדם הדיפוזיה D מחליף את α. לכן אותן טכניקות פתרון חלות על שניהם.

באופן טיפוסי מפרידים משתנים: u(x,t)=X(x)T(t). החלק בזמן נוטה להיות מעריך יורד בזמן, מה שמייצג דעיכה של תנודות החום. החלק במרחב הוא פונקציה סינוסואידלית, והפרמטרים (λ) נקבעים מתנאי השפה. הפתרון הסופי הוא סכום טורים (טור פורייה) של מצבים עיקריים שמדכאים עם הזמן לפי e^{-λ_n^2 k t}.

לדוגמה, מוט באורך L מבודד פרט לקצה אחד שמוחזק בטמפרטורה קבועה. תנאי השפה קובעים אילו ערכי λ אפשריים, ובכך את צורות המודוסים והקבועים A_n בטור. חישוב ה־A_n נעשה בעזרת טור פורייה, והתוצאה היא סכום סינוסים שמציין את פילוג הטמפרטורה בכל רגע.

פתרון משוואת החום עבור תמונה דומה להחלקת גאוס. כשהזמן גדל, התמונה מתהדקת (מתערבבת) יותר ויותר, ולכן מקטינים רעש. בדיפוזיה לא ליניארית מקדם הדיפוזיה תלוי בשיפוע התמונה. כך ניתן להחליק רעש ולשמור על שפות, פרט חשוב בתמונה.

קשרים נוספים: משוואת החום קשורה למהלכים אקראיים ותיאור צפיפות הסתברות. היא גם מופיעה במתמטיקה פיננסית (פתרון משוואות במודל בלק-שולס) ובשימושים מתקדמים שונים, כולל כלי במתמטיקה טופולוגית.

משוואת החום היא חוק מתמטי שמתאר איך חום מתפשט במקום לאורך הזמן. משוואה דיפרנציאלית חלקית, כלומר משוואה שמכילה נגזרות לפי מרחב וזמן. פורייה המציא אותה במאה ה-19.

המשוואה אומרת: השינוי בטמפרטורה בזמן תלוי בהפרשים הקטנים בין נקודות סמוכות. מקדם הדיפוזיה (מספר שמראה כמה החומר מעביר חום) קובע כמה מהר זה קורה.

במקרים אחרים מדברים על דיפוזיה. דיפוזיה פירושה פיזור של חומר או חום. מתמטית זה כמעט אותו הדבר.

במקרה פשוט נפרידים את המשתנים. מקבלים צורות במרחב שדומות לסינוסים. בזמן הן נחלשות בהדרגה. הסכום של כל הצורות האלה נותן את פתרון הבעיה.

למשל מוט באורך L, מבודד למעט קצה אחד בקבוע. תנאי השפה בוחרים אילו צורות אפשריות. בסוף מקבלים סכום של מצבים שמתרופפים עם הזמן.

כשמפעילים את המשוואה על תמונה, היא מחליקה אותה. זה עוזר להוריד רעש. בדיפוזיה מיוחדת משמרים קצוות חשובים בתמונה.

עוד דברים: משוואת החום קשורה גם להליכה אקראית ולשימושים בכלכלה.