משוואת פל

משוואת פל היא משוואה דיופנטית, כלומר משוואה שמחפשים לה פתרונות שלמים, מהצורה x^2 - D y^2 = 1. כאן D הוא מספר שלם שאינו ריבוע מושלם, ו־x,y הם מספרים שלמים. אם D אינו ריבוע, למשוואה יש אינסוף פתרונות. כל הפתרונות נוצרים מפתרון יסודי אחד, בעזרת פעולה של כפל בין פתרונות.

את הפתרון היסודי מקבלים בדרך כלל מפיתוח השורש ‏√D לשבר משולב (שבר משולב = דרך לכתוב מספר בעזרת רצף של חלקים חוזרים). משערים שהפתרון היסודי גדול במקצת, בקירוב מסדר הגודל e^{√D}.


המשוואה נחקרה כבר בהודו העתיקה. בראהמגופטה פיתח את שיטת Chakravala, פתרון מעשי למשוואות ריבועיות כאלו, כבר במאה ה־7. גם מתמטיקאים מאוחרים יותר, כמו Bhaskara II, עבדו על שיטות כלליות. במאה ה־18 אוילר נתן למשוואה את השם "Pell", על שם ג'ון פל, אך נראה שאוילר הטעה או ששם זה הוצמד באופן לא מדויק; לגראנז' עשה חקירה עמוקה של הבעיה.


אם נסתכל על הביטוי x^2 - D y^2 כ"נורמה" של האיבר x + y√D בשדה ‏Q(√D), נקבל פרספקטיבה אלגברית: פתרונות של המשוואה הם בדיוק האיברים שנורמתם שווה ל־1. זה גם מסביר מדוע מכפלת שני פתרונות נותנת פתרון חדש: הנורמה היא פונקציה כפלית.

הדרישה ש־x,y יהיו שלמים פירושה שמחפשים יחידות (איברים הפיכים) בחוג שלם מתאים, שהוא בדרך כלל Z[√D] או חוג אחר התלוי ב־D (תלות ב־D במוד 4). לכן משוואות עם נורמה ±1 קשורות זו לזו, ולעיתים מחפשים גם פתרונות של x^2 - D y^2 = -1. משפט היחידות של דיריכלה מתאר את אוסף האיברים ההפיכים בחוגים האלה, וניתן לראות בו הכללה מתמטית של משוואת פל.


מוכר חסם על גודל ה־y בפתרון היסודי, ומשערים שהחסם די חזק. דוגמה קיצונית היא D=661, שלה פתרון יסודי מאוד גדול:

x = 16421658242965910275055840472270471049 (38 ספרות)

y = 638728478116949861246791167518480580 (36 ספרות)

זהו דוגמה למקרים שבהם הפתרון היסודי גדול מאוד, אפילו עבור D לא גדול במיוחד.

משוואת פל היא משוואה פשוטה במראה: x^2 - D y^2 = 1. D הוא מספר שאינו ריבוע מלא. x ו־y צריכים להיות מספרים שלמים. אם D אינו ריבוע, יש למשוואה פתרונות רבים.

את הפתרון הראשי מוצאים בעזרת פיתוח של √D לשבר משולב. שבר משולב הוא דרך לכתוב מספר בעזרת חלקים שחוזרים שוב ושוב.


המשוואה נחקרה בהודו הקדומה. בראהמגופטה מצא שיטה בשם Chakravala כבר במאה ה־7. מאוחר יותר אוילר קרא למשוואה על שם פל, אם כי השם אולי לא מדויק. גם המתמטיקאי לגראנז' חקר את הבעיה.


אם יש פתרון אחד אפשר לקבל עוד רבים. פשוט מכפילים פתרונות זה בזה ומקבלים פתרונות חדשים. לפעמים הפתרון הראשי גדול מאוד. לדוגמה, כש־D=661 המספרים בפתרון הם עצומים: אחד מהם בעל 38 ספרות והשני בעל 36 ספרות.