שבר משולב

שבר משולב הוא ביטוי מהצורה a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ... + 1/an))) כאשר a0,a1,...,an הם בדרך כלל מספרים טבעיים. אפשר גם להגדיר פיתוח אינסופי דומה.

שברים משולבים משמשים בעיקר בתורת המספרים ובאנליזה נומרית. הם קשורים לאלגוריתם של אוקלידס למציאת המחלק המשותף המקסימלי, לפתרון משוואות פל (Pell) וליצירת קירובים רציונליים טובים למספרים ממשיים. למעשה, הקירובים שמקבלים מהשבר המשולב הם בין הטובים ביותר שניתן להשיג במכנה נתון.

שימושים בשברים משולבים זוהו כבר אצל ארכימדס. מאוחר יותר חקרו אותם אריהאבטה ופיבונאצ'י. המונח "שבר משולב" נטבע ב-1653 על ידי ג'ון ואליס. אוילר נתן טיפול שיטתי והראה, בין היתר, שכל מספר רציונלי ניתן להצגה כשבר משולב סופי. למברט הראה ש־π אי-רציוני באמצעות פיתוח לשבר משולב. גאוס קישר שברים משולבים לטורים היפרגאומטריים וחקר את התנהגותם הכללית.

מוסיפים קיצור נפוץ: x = [a0; a1, a2, ...]. אם המונים הם תמיד 1 קוראים לזה שבר משולב פשוט. אפשר גם להכליל ולשים במונים שונים b1,b2,...; אז מקבלים שבר משולב מוכלל.

מרכיבים סופיים נקראים מנת חֶלְקית, xk = p_k/q_k. יש נוסחאות נסיגה מפורשות ל-p_k ול-q_k: כל צעד מחושב מהקודמים בעזרת a_k ו-b_k. אלה נותנות גם הוכחה שהמנת החלקית מתקבלת בדיוק לפי ההגדרה.

באמצעות הנוסחאות מקבלים זהות חשובה: p_k q_{k-1} - p_{k-1} q_k = (-1)^{k-1} ∏_{i=1}^k b_i. עבור שבר פשוט (b_k=1) זה מראה ש-p_k ו-q_k זרים, ולכן כל מונה/מכנה מציין שבר מצומצם.

ביחס להיווצרות הגבול, אם הסדרות שמגדירות את השבר הן חיוביות, אז המנות החלקיות x_k מתכנסות למספר ממשי. אפשר להראות שתתי-סדרות של קירובים (זוגיים או אי-זוגיים) הן חד-גוניות ומתקרבות מהצדדים הנגדיים.

כשכל a_n הם טבעיים, הפיתוח [a0;a1,...] מגדיר מספר ממשי היטב. כל רציונלי יש לו הצגה סופית, וכל אי-רציונלי יש לו הצגה אינסופית יחידה. אפשר לבנות את ההצגה של x על ידי חילוק החלק השלם בכל שלב ולקיחת הופכי של השאריות.

משפט מרכזי: ההצגה כשבר משולב היא מחזורית אם ורק אם המספר הוא שורש של משוואה ריבועית עם מקדמים שלמים. לדוגמה [1;1,1,1,...] = יחס הזהב (1+√5)/2. פיתוחים מחזוריים של √D עוזרים לפתור משוואות פל.

יש מספרים מיוחדים עם פיתוח ידוע אך לא מחזורי, למשל הקבוע e שמקבל פיתוח עם דפוס שמשתנה באופן ידוע.

המנות החלקיות נותנות קירובים רציונליים מצוינים. לדוגמה, פיתוח של π התחיל ב-[3;7,15,...] וממנה צפינו בקירוב 333/106. קירוב זה טוב בהרבה מ-314/100 באותה סדר גודל של מכנה.

כל מנת חלקית p/q היא מיטבית בקירוב: לא קיים שבר עם מכנה קטן או שווה שמקרב את x טוב יותר.

ניתן לבחון את התנהגות המקדמים a_n עבור כמעט כל מספר ממשי. חינצ'ין הוכיח משפטים סטטיסטיים חזקים: למשל, עבור סדרה נתונה h_n, התנאי האם a_n ≥ h_n מתרחש באין-סוף במידה ותלוי בהתכנסות הטור ∑1/h_n.

כמעט לכל x מתקיים שהלוגריתם של q_n גדל בקצב קבוע, כלומר q_n גדלים בקצב אקספוננציאלי. חניצ'ין חקר גם את התפלגות המקדמים a_n והראה תדירות הופעה מוגדרת עבור כל ערך של המקדמים; תוצאה זו קשורה למה שמכונה "מידת גאוס".

שבר משולב הוא דרך לכתוב מספרים כשרשרת של חילוקים. למשל: a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + ...)).

שימושים חשובים: למצוא קירובים טובים למספרים כמו π ולפתור בעיות בחשבון. שברים משולבים עוזרים לבנות מספרים רציונליים קרובים למספרים לא שלמים.

כבר ארכימדס השתמש ברעיון זה. אחר כך גם מתמטיקאים כמו פיבונאצ'י ואוילר עבדו איתו. ואליס קרא לזה "שבר משולב" לראשונה במאה ה-17.

כותבים בדרך כלל [a0; a1, a2, ...] לקיצור. אם כל המונים הם 1 קוראים לזה שבר משולב פשוט. אפשר גם לשים מונים שונים וזה נקרא שבר מוכלל.

מנת חלקית היא שבר שמסתיים בנקודה מסוימת. מחושבים אותם לפי נוסחאות קצרות שמקשרות בין השלבים.

דוגמה ידועה: הפיתוח החוזר [1;1,1,1,...] נותן את יחס הזהב, שהוא (1+√5)/2. יחס הזהב מופיע בטבע ועצבון כאחוז מיוחד.

מנת חלקית נותנת שבר p/q שקרוב מאוד למספר שאנו רוצים. למשל, פיתוח כלשהו של π נתן את 333/106, שהוא קירוב טוב יותר מאשר 314/100.

אם בוחרים מספר ממשי אקראי, המקדמים a_n בדרך כלל לא יהיו מוגבלים. מתמטיקאים חקרו איך המקדמים האלה מתפלגים וכיצד המכנים גדלים מהר מאוד.