משחק בצורה תכסיסית

משחק בצורה תכסיסית (מכונה גם משחק מטריצה או משחק אסטרטגי) מתאר איך תוצאת משחק נקבעת על ידי הבחירה המוקדמת של תכסיסים. תכסיס הוא תוכנית פעולה של שחקן לכל מהלך האפשרי במשחק. התיאור הזה מעניין כשהמטרה היא רק התוצאה הסופית, ולא השלבים הפנימיים של המשחק.

יש כמה דרכים לייצג מתמטית משחק בתורת המשחקים. כל ייצוג צריך להראות את כל התרחישים האפשריים ואת התשלומים (payoffs) - כלומר הרווח או התוצאה לכל שחקן בסוף כל תרחיש. ייצוגים שונים מדגישים מושגים שונים, כמו סדר פעולות או הידיעה של השחקנים.

בצורה תכסיסית מייצגים את המשחק במטריצה (טבלה). כל ממד במטריצה מתאים לשחקן. האורך של כל ממד שווה למספר התכסיסים שעומדים בפני השחקן. כל תא במטריצה מייצג בחירה משותפת של תכסיסים ועליו רשומים התשלומים לכל שחקן.
במשחק בין שני שחקנים המטריצה הופכת לטבלה רגילה: שורות לצעדיו של שחקן א' ועמודות לצעדיו של שחקן ב'. בתוך כל תא כתוב זוג מספרים, כל מספר הוא תשלום לשחקן המתאים.
ניתן לכלול גם מזל או תכסיסים מעורבים. תכסיס מעורב הוא התפלגות הסתברויות שבאמצעותה בוחרים תכסיסים.

באופן פורמלי משחק תכסיסי מוגדר על ידי קבוצה של שחקנים, קבוצה של תכסיסים לכל שחקן, ופונקציות תשלום שמקשרות כל בחירת תכסיסים לתשלומים של השחקנים. המטריצה היא n-ממדית, כאשר n הוא מספר השחקנים, וגודל כל ממד שווה למספר התכסיסים של אותו שחקן.

שני חוואים, א' וב', חולקים שדה. אם איש לא עובד עליו, אין יבול ואין רווח. אם אחד מהם או שניהם עובדים, היבול מניב 10 מטבעות. הרווח מתחלק שווה בשווה, אך כל חוואי משלם 2 מטבעות על נסיעה.
בטבלה התכסיסים הם "לעבוד" או "לא לעבוד". למשל: אם א' עובד וב' נשאר בבית, א' מקבל 3 מטבעות וב' מקבל 5.
משחק זה ניתן לשנות למשחק בתורות: א' מחליט ראשון, ואז ב' מקבל החלטה על בסיס ידיעתו לגבי א'. למרות שהמשחק כולל שלבים, ניתן לתארו גם בצורה תכסיסית. במקרה כזה לחוואי ב' יהיו תכסיסים מותאמים למידע שהוא יכול לקבל. לדוגמה, באפשרות "למרוד" ב' עושה תמיד את ההפך ממה שא' בחר. תכסיס כזה יכול להיות אסטרטגיה שלטת אם אין תכסיס שמניב לו תשלום גבוה יותר בכל מצב.

הצגה תכסיסית פשוטה בעזרת מטריצה מקלה על זיהוי אסטרטגיות שולחות (dominant strategies) ואסטרטגיות נשלטות (dominated strategies). היא גם מאפשרת למצוא שיווי משקל נאש, כלומר מצב שבו אף שחקן לא יכול להרוויח משינוי תכסיס בודד.

ניתן להמיר משחק שמוצג כעץ החלטות (צורה רחבה) למטריצה תכסיסית על ידי קביעת תכסיסים שמצפים לכל אפשרות שבה השחקנים עלולים להימצא. ההמרה מוסיפה תכסיסים שמכסים את כל התרחישים, ולכן לעתים מספר התכסיסים גדל משמעותית.

זהו דרך לתאר משחקים שבהתוצאה קובעת בחירת תכסיסים מראש. תכסיס הוא תוכנית פעולה לכל מצב אפשרי.

יש דרכים שונות לתאר משחקים. כל דרך מראה מי יכול לבחור ומה הוא מקבל בסוף.

מייצגים משחקים בתכסיסים בעזרת טבלה. כל שחקן מקבל שורה או עמודה בטבלה. כל תא בטבלה מראה מה כל שחקן מקבל אם כל אחד בחר תכסיס מסוים.
יש גם תכסיסים שמשתמשים בסיכוי. זה נקרא תכסיס מעורב. הוא בוחר פעולה לפי הסתברות.

שני חוואים חולקים שדה. אם אף אחד לא עובד, הם לא מרוויחים כלום. אם אחד או שניהם עובדים, היבול שווה ל-10 מטבעות. הם יחלקו את הכסף שווה בשווה. כל חוואי צריך לשלם 2 מטבעות על הנסיעה.
אם א' עובד וב' נשאר בבית, א' מקבל 3 מטבעות וב' מקבל 5.
אם המשחק נערך בתורות, א' מחליט ראשון וב' יודע מה א' בחר לפני שהוא מחליט. גם אז אפשר לתאר את המשחק בטבלה, אבל לחוואי ב' יהיו תכסיסים שיכולים להגיב להחלטת א'.

טבלאות תכסיסים עוזרות לראות מי יש לו תכסיס טוב יותר. אפשר למצוא אסטרטגיה שמובילה תמיד לתוצאה טובה יותר.

משחק שמצויר כעץ החלטות אפשר להפוך לטבלה על ידי כתיבת כל התכסיסים האפשריים לכל שחקן.