משחק דיפרנציאלי

משחק דיפרנציאלי הוא סוג של משחק שבו פעולות השחקנים משפיעות על התפתחות של מערכת בזמן. המערכת מתוארת על ידי משוואות דיפרנציאליות, משוואות שמתארות איך משתנים (כמו מיקום או מהירות) משתנים עם הזמן.

דוגמה פשוטה: שני שחקנים שולטים בנקודה על מסך. אחד שולט בתנועה למעלה ולמטה, והשני שולט ימינה ושמאול. במסך יש אזורים שבהם כל שחקן צובר נקודות. דוגמה אחרת: שני טייסים מחזיקים בהגה מטוס, וההגה מגיב לשניהם. אם מטרותיהם שונות, כל טייס מנסה לכוון לטובתו.

רופוס אייזקס (Isaacs) היה הראשון שחקר במערכתיות משחקים אלה והציג תיאוריה קלאסית עליהם ב-1965.

ניתן לכתוב באופן כללי שמערכת המצב משתנה לפי חוק תלוי בזמן ובבקרות של שני השחקנים. יש גם אילוצים שמגבילים את הפעולות שלהם. לסיום המשחק מוגדר תנאי סופי (משטח סיום) ולפעמים וקטור הניצב אליו.

כמו בבקרה אופטימלית משתמשים בפונקציה מרכזית שנקראת המילטוניאן. המילטוניאן משלב את אינדקס הביצועים (מה כל שחקן רוצה להשיג), את דינמיקת המערכת ואת אילוצי המערכת. גזירתו לפי משתני המערכת וכופלי לגראנז' מייצרת מערך משוואות דיפרנציאליות נוסף. פותרים אותן עם תנאי התחלה ותנאי סיום כדי למצוא את המסלולים האופטימליים.

המילטוניאן נותן דרך לשלב את עלות המשחק עם הדינמיקה. בפועל מחפשים את האסטרטגיות שממקסמות או ממזערות אותו, לפי תפקיד כל שחקן.

אייזקס הציג תנאי אי-שוויון המבטא את הרעיון של מינימיזר ומקסימיזר. אם רק שחקן אחד משחק באופן אופטימלי הערך של המילטוניאן שונה מאשר אם שניהם משחקים אופטימלית. בתנאי שייתכנו אסטרטגיות אופטימליות המשותפות, המילטוניאן באותן אסטרטגיות מתאפיין בערך מסוים (לעתים אף שווה לאפס).

במשחק דטרמיניסטי הערך הסופי נקבע על ידי מינימום ומקסימום ברורים (min-max). במצב כזה יש תוצאה ברורה אם מתקיים שוויון של min(max) ו-max(min). אם יש תור, ההחלטה של אחד מהשחקנים משפיעה מידית על האפשרויות של השני. לעיתים זה גורם לשיווי־משקל שבו שניהם בוחרים באותו פתרון.

כשאין פתרון נקי, המשחק עשוי להיות סטוכסטי, כלומר כל שחקן משתמש באסטרטגיה מעורבת, שמבוססת על הסתברויות. התוצאה הממוצעת של המשחק אז חוסמת בין הערכים שהוזכרו קודם.

פתרון רגיל מתקבל על ידי אינטגרציה לאחור בזמן מהמשטחי סיום לעבר ההתחלה. כך מוצאים את המסלולים ועוצמות הבקרה האופטימליות. הפתרון אפשרי כאשר מסלולי המצב אינם חותכים זה את זה.

אם מסלולי הפתרון חותכים, הפתרון הרגיל אינו תקף ונוצרת סינגולריות. נקודת החיתוך הופכת למשטח סינגולרי שמצריך טיפול מיוחד.

יש הרבה דוגמאות בספרות. המשותף להן הוא שכמות הידע שיש לשחקן על פעולות היריב משפיעה על אסטרטגייתו. ידע כזה מאפשר לשנות אסטרטגיה ולהשיג ביצועים טובים יותר ביחס למטרת המשחק.

משחק דיפרנציאלי הוא משחק שבו מה ששחקנים עושים משנה דבר בזמן. המערכת מתפתחת לפי חוקי שינוי. אלה נקראים משוואות דיפרנציאליות. משוואה זו אומרת איך משהו משתנה עם הזמן.

דוגמה קלה: שני ילדים שולטים בנקודה על מסך. אחד מושך למעלה ולמטה. השני מושך שמאלה וימינה. על המסך יש אזורים שמקנים נקודות לכל שחקן.

עוד דוגמה: שני טייסים מחזיקים בהגה של מטוס. ההגה נענה לכל אחד מהם. אם הם רוצים דברים שונים, כל אחד ינסה לכוון לטובתו.

רופוס אייזקס היה חוקר שעסק בזה לראשונה בשנת 1965.

במשחק כזה יש חוקי תנועה, גבולות למה שמותר לעשות ותנאי סיום שמגדירים מתי המשחק נגמר.

המילטוניאן הוא כלי שמרכז את מה שכל אחד רוצה להשיג יחד עם חוקי התנועה. משתמשים בו כדי למצוא מה כל שחקן צריך לעשות.

במשחק דטרמיניסטי יש תוצאה ברורה. כל צד מחפש את האופציה הטובה ביותר לו. לפעמים שניהם בוחרים באותה האפשרות.

כשאין תוצאה ברורה, המשחק יכול להיות אקראי. אז כל שחקן מפתיע מידי פעם. התוצאה הממוצעת היא בין ערכים קבועים.

כדי לפתור משחק חוזרים אחורה מהסוף להתחלה. כך מוצאים מסלולים טובים. אם המסלולים חותכים, נוצרת בעיה שנקראת סינגולריות, וצריך לחשוב אחרת.

המשחקים האלה נמצאים בהרבה בעיות. ידע על פעולות היריב משנה את הבחירות של השחקן ומשפר את סיכוייו.