משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות

משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות קובע שכל חבורה פשוטה סופית (חבורה שבה אין תתי-חבורות נורמליות פרט לטריוויאליות) שייכת לאחת מארבע קטגוריות. החבורות האלה נחשבות "אבני הבניין" של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים ראשוניים בעולם המספרים. משפט ז'ורדן-הלדר נותן הסבר מבני על תפקיד החבורות הפשוטות.

ההוכחה של המשפט היא מפעל מדעי עצום. היא נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמעט מאה מתמטיקאים, ופורסמה בכ־500 מאמרים ובכ־15,000 עמודים. זהו אחת ההישגים המרכזיים במתמטיקה של המאה העשרים.

ראשית הדרך הייתה משפט פייט-תומפסון (1963), שאסר על קיומן של חבורות פשוטות לא-אבליות (כלומר לא-קומוטטיביות) מסדר אי-זוגי. הוכחה זו, בכ־250 עמודים, הדגימה את הצורך בכלים חזקים כגון תורת ההצגות (אופן שבו חבורה מופיעה כקבוצה של מטריצות), והפכה למוקד חשוב במיון.


המשפט מחלק את כל החבורות הפשוטות הסופיות לארבע משפחות. שלוש מן המשפחות הן אינסופיות, והרביעית כוללת את ה"חבורות הספורדיות" (sporadic), שמנות בודדות שאינן משתייכות למשפחות הגדולות.


יש 26 חבורות ספורדיות. חמש הראשונות התגלו כבר במאה ה-19 בשם חבורות מתיו, ושאריהן התגלו בין 1965 ל-1975. לעיתים התגלה לפני כן שכלל התנאים מחייבים חבורה יחידה, ורק אז הוכיחו שקיימת חבורה כזו בפועל.

"המפלצת" היא החבורה הספורדית הגדולה, והיא כוללת כמות עצומה של איברים, מספר עצום בהשוואה לקבוצות רגילות. בתוך המפלצת נמצאות 20 מהחבורות הספורדיות האחרות. שש חבורות ספורדיות יוצאות דופן נקראות בדרך-כלל J1, J3, J4, O'N, Ru ו-Ly.


הרעיון הבסיסי הוא להניח שיש חבורה פשוטה סופית שלא נמצאת ברשימה, ולחקור את הקטנה שבהן. המטרה היא להראות שחבורה כזו אינה יכולה להתקיים. זו שיטה שבליבה עומדת בעקרון של מינימליות.


אנשים מנסים לנתח תתי-חבורות מסוימות במקום את כלן יחד. אחד הרעיונות הוא להתמקד במרכזים של איברים או של תת-חבורות מסוימות. חבורות שבהן לכל איבר המרכז שלו אבלי נקראות חבורות CA, והן סווגו על ידי בראואר, סוזוקי וואל ב־1958.


בראואר הציע להתמקד במיוחד במרכזים של אינוולוציות. אינוולוציה היא איבר מסדר 2, כלומר פעולה שחוזרת לעצמה אחרי שנועלים אותה פעמיים. בעיה עיקרית היא לוודא שאיברים כאלה אכן קיימים. משפט של ברנסייד מ-1911 מבטיח שאם החבורה פשוטה ואינה ציקלית, יש בה אינוולוציות לא טריוויאליות. רעיון זה הוביל לאלגוריתם חשיבתי שחולל הרבה פיתוחים במיון.


במקום להתמקד רק במרכזים, משתמשים במחלקה רחבה יותר של תתי-חבורות שנקראות חבורות מקומיות. הן מספקות מסגרת שמתאימה לניתוח מערכתית ושלב־אחר־שלב של המיון.


חבורת פיטינג המוכללת היא תת-חבורה מיוחדת שמקלה על ניתוח סדרות ההרכב של חבורה. בעזרת מבנה זה ניתן לתאר את החבורה הנתונה כחלק מחבורת האוטומורפיזמים שלה, ולזהות גורמים מרכזיים במבנה.


קרקטורים הם פונקציות שמקורן בתורת ההצגות, והם היו כלי מרכזי במיון. קיימת גם גרסה מודולרית של תורת הקרקטורים עבור שדות סופיים, והיא תרמה להוכחות רבות במיון.


המיון מחולק לשני ענפים עיקריים: מיון המקרים ה"אי-זוגיים" והמקרים ה"זוגיים". המקרה האי-זוגי קל יותר ודרש פחות מאמצים. במקרים הזוגיים משתמשים בפרמטרים טכניים שמודדים תכונות של תת-חבורות 2־סילו.

מחקרים מאוחרים תיקנו והשלימו הוכחות מוקדמות. בפרויקט "הדור השני" ניסו לכתוב את ההוכחה מחדש באופן מסודר בהרבה, בסדרה של ספרים. כמה מקטעים שאררו פערים נסגרו רק ב־2004.


דניאל גורנשטיין ארגן ושילב עבודות רבות בשנות השבעים. הוא הכריז על סיום ההוכחה ב־1983, אך נשארו פערים טכניים. מאז הושלמו החלקים החסרים, ופורמט ההוכחה עובד מחדש על ידי קבוצות שונות.


התוכנית של גורנשטיין כללה סדרת צעדים ממוקדים: מיון לפי דרגות־2, ניתוח מרכזים של אינוולוציות, מיון של טיפוס אי־זוגי, טיפוס זוגי, מיון חבורות דקות, סגירת מקרים של חבורות מטיפוס מאפיין מסוים ועוד. חלק מהצעדים הושלמו במהלך העשורים הבאים בידי חוקרים כגון אשבכר וסמית'.


ההוכחה התפתחה לאורך שנים רבות. תאריכי הפרסומים אינם תמיד לפי הסדר הכרונולוגי של הגילויים, וחלק מההכרזות קודמות לפרסומים המלאים.

משפט המיון אומר: כל חבורה פשוטה סופית שייכת לאחת מארבע קבוצות. חבורה פשוטה היא כמו "לבנה" בבניין המתמטי. זה דומה למספרים הראשוניים במתמטיקה.

ההוכחה למיון לקחה הרבה זמן. הרבה מתמטיקאים עבדו עליה במשך עשרות שנים. הם כתבו מאות מאמרים והרבה עמודים. אחד הצעדים החשובים היה משפט פייט-תומפסון מ-1963. משפט זה אומר שחבורות פשוטות לא-קומוטטיביות אי-זוגיות אינן קיימות.


יש 26 חבורות מיוחדות שנקראות ספורדיות. הן לא משתייכות למשפחות הגדולות. חמש מהן התגלו כבר מוקדם, ושאריהן בין 1965 ל־1975. "המפלצת" היא החבורה הגדולה ביותר. בתוכה נמצאות רוב החבורות הספורדיות.


המתמטיקאים נקטו בגישה של בדיקה: אם יש חבורה שלא מתאימה, בוחנים את הקטנה שבה. כך מנסים להראות שאין חבורה כזו.

הם בדקו אלמנטים שנקראים אינוולוציות. אינוולוציה היא איבר שעושים אותו פעמיים והוא חוזר להיות זהה. משפט ישן של ברנסייד אומר שאם החבורה פשוטה ולא קטנה מדי, יש בה אינוולוציות.

הם גם בדקו תתי-חבורות מקומיות. אלה קטעים של החבורה שמקלים על המחקר. משתמשים בכלים נוספים בשם חבורת פיטינג ותורת הקרקטורים, שהם דרכים לחקור כיצד החבורה פועלת כ"מטריצות".

העבודה חלקה לשני מקרים עיקריים: מקרה אי-זוגי ומקרה זוגי. המקרה האי-זוגי היה קל יותר. חלקים שקלו נבדקו ונתוקנו בעשורים שאחרי ההכרזות הראשוניות.

בסוף, המיון הושלם אחרי עבודת צוות מקיפה. היום אפשר לבדוק תכונות של חבורות פשוטות על ידי מעבר על המקרים שנמצאים במיון. זה הפך את החבורות הפשוטות לכלי עוצמתי במתמטיקה.