חבורה אבלית נוצרת סופית

חבורה אבלית נוצרת סופית היא חבורה שבה הפעולה קומוטטיבית (ab = ba) וניתן ליצור את כל האיברים ממספר סופי של יוצרים.

חבורה היא קבוצה עם פעולה שמקיימת חוקים בסיסיים. יש חבורות לא אבליות ומורכבות, ויש חבורות אבליות שפשוטות יותר. המשפט המיון מסווג את כל החבורות האבליות הנוצרות סופית.

איבר מפותל הוא איבר a שאינו אפס וקיים n≠0 כך ש־n·a = 0. האיברים המפותלים יוצרים תת־חבורה שנקראת תת־חבורת הפיתול. חבורה חסרת פיתול היא כזו שאין לה איברים כאלה. חבורה אבלית נוצרת סופית חסרת פיתול דומה לסכום של עותקים של החבורה הציקלית האינסופית (החבורה שלמים), ואילו חבורה נוצרת סופית ומפותלת היא סופית.

קבוצת יוצרים היא קבוצה שממנה אפשר לבנות את כל האיברים. הדרגה היא הגודל המינימלי של קבוצת היוצרים. לדוגמה, דרגתה של החבורה של זוגות של מספרים שלמים היא 2.

לפי משפט המיון, כל חבורה אבלית נוצרת סופית היא איזומורפית לסכום ישר של שני חלקים: חלק חופשי, פריק שמזכיר ‘עותקים של ”Z” (מספרים שלמים) במספר r, וחלק מפותל, סכום של חבורות ציקליות סופיות. אפשר לכתוב את החלק המפותל בצורת מחלקים אלמנטריים (חזקות של ראשוניים) או בצורת גורמים אינווריאנטיים שבה המספרים מתחלקים זה בזה. שתי הצורות יחידות ומדויקות.

ההוכחה מבוססת על ראייה של חבורות אבליות כמודולים מעל החוג Z, ואז להשתמש במשפטים כלליים על מודולים.

דוגמה פשוטה היא סכום של חבורות ציקליות קטנות, כמו Z_2 ∑ Z_3 ∑ Z_3 ∑ Z_5.

חבורה היא קבוצה עם כלל לחיבור. בחבורה אבלית הסדר לא משנה.

חבורות מופיעות בהרבה מקומות במתמטיקה. יש חבורות פשוטות ויש מורכבות.

איבר מפותל הוא איבר שעובר לאפס אחרי חיבורו לעצמו מספר פעמים. כל האיברים האלה עושים קבוצה מיוחדת.

דרגה היא מספר האיברים הקטנים שצריך כדי ליצור את כל החבורה.

המשפט אומר: כל חבורה אבלית שנוצרת ממספר סופי של איברים ניתנת לפירוק לשני חלקים. חלק אחד הוא של איברים שיש להם סדר סופי. החלק השני דומה ל"קבוצת המספרים השלמים" שחוזרת כמה פעמים.

דוגמה פשוטה היא חוג שמורכב ממספרים בודדים עם מחזורים קטנים, למשל קבוצות של שאריות מודולו 2, 3 ו־5.