»משפט נפוליאון« קובע: אם על צלעות כל משולש בונים משולשי שווי-צלעות (שווים בצדדים), אז מרכזי הכובד של המשולשים האלה יוצרים משולש שווה-צלעות. יש שתי גרסאות של הבנייה: משולשים הפונים החוצה ומשולשים הפונים פנימה. המשולש שמתקבל מכל מרכזי הכובד נקרא משולש נפוליאון החיצוני או הפנימי, בהתאם.
יהי
triangle ABC. על צלעות AB, AC ו-BC בונים משולשים שווי-צלעות כך שהם פונים החוצה. נסמם ב-L, M ו-N את מרכזי הכובד של שלושת המשולשים השווי-צלעות האלה. אז המשולש
triangle LMN הוא משולש שווה-צלעות. משולש זה הוא משולש נפוליאון החיצוני.
יש כמה הוכחות קלאסיות. שתי היותר מוכרות הן הוכחה טריגונומטרית והוכחה במישור המרוכב.
מסמנים S כשטח המשולש המקורי, ו-P כסכום ריבועי אורכי הצלעות, P=a^2+b^2+c^2. משתמשים בתכונות מרכז הכובד: בתיכון שבמשולש שווי-צלעות יש זוויות של 30 מעלות וחוצי זווית מתנהגים פשוט. מחשבים אורך צלעות המשולש שמרכיבים L,M,N בעזרת נוסחת הקוסינוסים ומשיגים שצלעות אלה שוות. למעשה מתקבל ש-ML^2=NM^2=LN^2=
(1/6)P+(2/√3)S, ולכן המשולש שווה-צלעות.
ממקמים את נקודות המשולש במישור המרוכב כערכים A,B,C. מסמנים j=e^{2πi/3}, שמייצג סיבוב של 120°. בתנאי משולש שווה-צלעות יש זהות לינארית עם שקולים של j. בעזרת המשוואות של המשולשי שווי-הצלעות החיצוניים וחישוב ממוצע נקודות (נוסחת מרכז הכובד), מקבלים ששלושת הנקודות L,M,N מקיימות את התנאי למשולש שווה-צלעות.
אם במקום הפנייה החוצה בונים את המשולשים פנימה, התוצאה דומה. רק משתמשים ב-j^2 (סיבוב בכיוון ההפוך) בהוכחה המרוכבת. אורך צלע המשולש הפנימי הוא
√(1/6 P - 2/√3 S), ולכן קיים תמיד במידה והביטוי מתממש.
מכיוון שהערך שבתוך השורש עבור המשולש הפנימי חייב להיות לא-שלילי, מקבלים את אי־השוויון P ≥ 4√3 S. זהו אי-שוויון ידוע (ויוצנבק), והוא הופך לשוויון בדיוק כאשר המשולש המקורי הוא שווה-צלעות.
משפט נפוליאון מאפשר גם בניית ריצוף של המישור. אם מזיזים את התרשים בכפולות של וקטורי יסוד מסוימים (למשל וקטור
C'C ו-
B'B), מקבלים סריג שבו "חורים" מתמלאים על ידי סיבוב של המשולש המקורי ב-120°. כך מתקבל ריצוף עם שתי סימטריות בסיסיות.
הדיאגרמה מביאה גם נקודות מיוחדות הקשורות למשולש.
נקודת פרמה היא הנקודה שמממנה סכום המרחקים לשלושת הקודקודים מינימלי. בבנייה של נפוליאון, שלושת המעגלים החוסמים את המשולשים השווי-צלעות חותכים בנקודה יחידה, זו נקודת פרמה. גם אם מתחברים מקודקוד של כל משולש שווה-צלעות לקודקוד הנגדי במשולש הפנימי, שלושת הקטעים נפגשים בנקודה זו.
בגרסה החיצונית, מחברים כל מרכז של משולש שווה-צלעות אל הקודקוד הנגדי במשולש המקורי. שלושת הקטעים נפגשים בנקודה שנקראת נקודת נפוליאון הראשונה. בבנייה הפנימית מקבלים נקודה שונה, נקודת נפוליאון השנייה. שתי נקודות אלו הן הצמדה איזוגונלית זו של זו.
משפט פטר-דאגלס-ניומן (PDN) הוא הכללה ל-n-אגונים. עבור מצולע בעל n קודקודים בונים משולשים שווי-שוקיים בזוויות ראש מסוימות וחוזרים על תהליך עבור ערכי k שונים. מרכזי הכובד של המצולעים שנוצרים שווים למרכז הכובד ההתחלתי, והמצולע האחרון הוא משוכלל. משפט נפוליאון הוא המקרה n=3 של PDN.
גם ניתן להכליל את משפט נפוליאון כאשר המשולשים שנבנים אינם שווי-צלעות אבל דומים זה לזה. במקרה כזה המשולש הנוצר על ידי מרכזי הכובד יהיה דומה למשולשים החיצוניים.
אם על כל צלע של משולש בונים משולשים שווי-צלעות (שווים בצדדים), מרכזי הכובד שלהם יוצרים משולש שווה-צלעות. מרכז הכובד הוא המקום שבו נפגשים התיכונים, קווים שמחלקים את הצלע לשני חלקים שווים.
בונים משולשי שווי-צלעות על שלוש צלעות המשולש. משלוש נקודות המרכזים של המשולשים האלה מקבלים משולש שווה-צלעות. קוראים לו משולש נפוליאון החיצוני.
- אם בונים את המשולשים פנימה במקום החוצה, מקבלים משולש נפוליאון פנימי.
- המעגלים שמקיפים כל משולש שווי-צלעות נפגשים בנקודה אחת.
- ההפרש בין שטח משולש נפוליאון החיצוני לשטח של המשולש הפנימי שווה בדיוק לשטח המשולש המקורי.
- נקודת פרמה היא נקודה שממנה סכום המרחקים לשלושת קודקודי המשולש הוא הכי קטן. בבנייה של נפוליאון אפשר למצוא אותה בחתך המעגלים או בחתך קטעים מיוחדים.
- יש שתי נקודות נפוליאון. הראשונה מגיעה מהבנייה החיצונית. השנייה מגיעה מהבנייה הפנימית. שתיהן קשורות זו לזו באופן מיוחד.
רעיון דומה עובד גם על מצולעים אחרים. אם בונים צורות מתאימות על הצלעות, אפשר לקבל מצולעים רגילים או נקודות מיוחדות.
זהו משפט גאומטרי יפה, שאפשר לראות אותו בעין אם בונים את הצורות על דף ונקשר בין המרכזים.
תגובות גולשים