משפט סטוקס

משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי־האינטגרלי ליריעות חלקות. המשפט קרוי על שם ג'ורג' סטוקס והוא חשוב באנליזה של שדות וקטוריים.

בצורתו הכללית כתוב: ∫_M dω = ∫_{∂M} ω. כאן dω היא הנגזרת החיצונית (מפעיל שמודד שינוי של הצורה הדיפרנציאלית), ו‑∂M היא שפת היריעה, הגבול שלה.

במבחינת מרחב הווקטורי R^3 המשפט מקשר אינטגרל מסילתי של שדה על שפת משטח לאינטגרל משטحي של רוטור השדה על המשטח. כלומר, סך ההשפעות על השפה שווה ל'סך הסיבוב' בתוך המשטח. גרסה זו מופיעה בחוקי מקסוול, בעיקר בחוקי אמפר ופאראדיי.

משפט גרין הוא מקרה במישור. עבור שדה F=(P,Q) וקמור D עם מסילה סגורה C מתקיים שקיבול האינטגרל על C שווה לאינטגרל כפול על D של (∂Q/∂x − ∂P/∂y). זהו כלי שימושי להחליף אינטגרל על גבול באינטגרל על תחום.

משפט גאוס (או משפט הדיברגנץ) הוא מקרה בנפח של R^3. הוא קובע שהאינטגרל הטריפל של הדיברגנץ של שדה על נפח שווה לאינטגרל השטף של השדה דרך המעטפת של הנפח. גם זה מקושר למשוואות מקסוול, בחוק גאוס.

הגרדיאנט הוא מקרה פשוט יותר: אם γ היא מסילה גזירה ו‑f פונקציה דיפרנציאבילית, אז אינטגרל של ∇f לאורך γ שווה להפרש הערכים של f בקצוות המסילה. זה הכללה ישירה של נוסחת ניוטון־לייבניץ.

משפט סטוקס מקשר בין מה שקורה על משטח למה שקורה על הגבול שלו. משטח זה כמו עליו של נייר עבה. הגבול הוא הקצה שלו.

אם יש שדה שמסביר כיוונים וזמן, אפשר למדוד אותו על הקצה. מדידה זו שווה למדידה של 'סיבוב' בתוך המשטח. חוק זה עוזר להבין חוקים של חשמל ומגנטיות.

במישור יש גרסה קלה שנקראת משפט גרין. היא אומרת שאינטגרל על הגבול שווה לאינטגרל על התחום הפנימי.

יש גם משפט לגופים תלת־ממדיים. האינטגרל על כל הנפח מתקשר לשטף דרך המעטפת החיצונית של הגוף.

אם פועלים לאורך מסלול על פונקציה, הסכום של השינויים שווה להבדל בין הערכים בקצה ההתחלה ובקצה הסוף.