אינטגרל קווי

אינטגרל קווי הוא חישוב של סכום ערכים של פונקציה לאורך מסילה או עקום במרחב.
הוא דומה לאינטגרל הרגיל, אבל הסכימה נעשית לפי אורך העקום ולא לפי קטע ישר.
הפונקציה שנחברת יכולה להיות סקלרית (מספרית) או וקטורית (כמו שדה של חצים במרחב).

כדי להגדיר את האינטגרל הקווי מחלקים את העקום למיתרים קטנים, בוחרים לנקודה בכל קטע "נקודה מייצגת" ומחשבים מכפלת ערך הפונקציה באורך הקטע. כאשר אורך הקטעים שואף לאפס, סכום הרימן הזה מתכנס לערך האינטגרל.
האינטגרל הקווי שימושי כשנותנים לתכונות של גוף להיות מתוארות על ידי עקום, למשל חישוב אורך, מסה או מטען של חוט דק.

זהו אינטגרל של פונקציה סקלרית לאורך העקום. אם מפתחים את העקום בעזרת פרמטר t, אז הערכים של הפונקציה נכתבים כפונקציה של t, ואורך קטע קטן מבוטא בעזרת הנגזרות של הקואורדינטות לפי t. מבחינה פרקטית מקבלים נוסחה אינטגרלית של הצורה ∫_a^b ρ(x(t))·||x'(t)|| dt, שבה ||x'(t)|| הוא קצב השינוי של המיקום לפי הפרמטר.
אינטגרל זה אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה, כלומר על אותו עקום התוצאה זהה למרות איך מתארים אותו.

זהו אינטגרל על שדה וקטורי F (כל נקודה במרחב מקבלת וקטור). כאן מחשבים היטלי הרכיבים של הווקטור לאורך הצירים ומסכמים. בשפה פשוטה, זה סכום של מכפלות בין רכיבי השדה לשינויי הקואורדינטות. בנוסחה הפרמטרית מקבלים ∫_a^b F(x(t))·x'(t) dt. תוצאת האינטגרל היא סקלרית.
כאשר הופכים את כיוון האינטגרציה, אינטגרל מסוג שני משנה סימן. לכן יש משמעות לכיוון בתהליך.

הקפה (סירקולציה) היא אינטגרל קווי של שדה וקטורי על מסלול סגור, כלומר אינטגרל שמוחזר על עצמו. הקפה חשובה בפיזיקה, בין השאר בניסוחים האינטגרליים של משוואות מקסוול.

דוגמה לאינטגרל מסוג ראשון: חישוב ∫_C z^2 dℓ על מסלול פרמטרי מסוים מוביל לאינטגרל מסוים לפי t.
דוגמה לסוג שני: חישוב עבודה של שדה וקטורי על עקום y=f(x) ניתן על ידי הפרמטריזציה x=t, y=f(t), ואז חישוב ∫ F·dx.

האינטגרל הקווי הוא ליניארי ואדיטיבי, בדומה לאינטגרל המסוים. אינטגרל מסוג ראשון על פונקציה חיובית אינו תלוי בכיוון. אינטגרל מסוג שני תלוי בכיוון ויכול לשנות סימן.
באופן כללי ערך האינטגרל תלוי במסלול. יש מקרים מיוחדים שבהם אינטגרל מסוג שני תלוי רק בקצוות, ולא בצורה המדויקת של המסלול.

משפטי סטוקס (ביניהם משפט גרין לתחום במישור) מקשרים אינטגרלים קוויים לאינטגרלים על פני שטח. משפט גרין מאפשר להחליף אינטגרל קווי על שפת תחום באינטגרל כפול על התחום עצמו.
קשר מרכזי נוסף הוא בין אינטגרל קווי לשדה משמר: אם שדה וקטורי הוא גרדיאנט של פונקציה סקלרית (פוטנציאל), אז האינטגרל בין שתי נקודות אינו תלוי במסלול, והאינטגרל על כל מסלול סגור שווה לאפס.

באנליזה מרוכבת משתמשים באינטגרלים קוויים כדי לחשב אינטגרלים של פונקציות מרוכבות. בעזרת פרמטריזציה של עקומה אפשר להמיר את האינטגרל הקווי לאינטגרל ממשי לפי הנוסחה ∫_γ f(z) dz = ∫_a^b f(γ(t))γ'(t) dt. משפטים כמו נוסחת קושי ומשפט השאריות מנצלים אינטגרלים כאלה לחישובים יעילים.

באמצעות אינטגרל קווי מסוג ראשון מחשבים אורכים ומסים של חוטים לפי צפיפות. סוג שני משמש לחישוב עבודה של כוחות משתנים לאורך מסלול. אינטגרלים קוויים מופיעים בתורת השדות, באלקטרומגנטיות, ובמכניקת הזרמים. משפטי סטוקס מאפשרים לפשט חישובים על ידי המרת אינטגרלים בין ממדים שונים.

אינטגרל קווי הוא חישוב שעושים לאורך קו מעוקל, לא לאורך קו ישר.
ברעיון, חותכים את העקום לחלקים קטנים וסוכמים מה יש בכל חלק.
כך אפשר למדוד אורך, מסה או מטען של חוט.

חולקים את העקום לחתיכות קטנות. בכל חתיכה בוחרים נקודה ומכפילים את ערך הפונקציה באורך החתיכה. כשעושים את החתיכות קטנות מאוד, מקבלים את האינטגרל.

זהו אינטגרל של מספרים לאורך העקום. משתמשים בו לחישוב אורך או מסה לאורך חוט.

כאן האינטגרל הוא של "שדה וקטורי". שדה וקטורי זהו אוסף חצים - בכל נקודה יש חץ שמראה כוח או כיוון. האינטגרל מחשב, למשל, את העבודה שעושה כוח על חלקיק שנע לאורך העקום.
אם מחליפים את כיוון ההליכה, התשובה יכולה להיות הפוכה בסימן.

הקפה היא אינטגרל על עקום סגור. זהו סכום של השפעת השדה כשעוברים סביב המסלול.

אינטגרל קווי סוג ראשון נותן את אורך העקום. סוג שני משמש כדי לחשב עבודה של כוח.
בתיאורים של שדות ושל חשמל וגלים משתמשים גם הם באינטגרלים אלה.

יש מקרים שבהם האינטגרל מסוג שני תלוי רק בנקודות ההתחלה והסוף. זאת קורה כשקיים "פוטנציאל" (פונקציה שממנה מגיע השדה). אז על מסלול סגור האינטגרל שווה אפס.