משפט שטיינר-הויגנס, שנקרא גם משפט הצירים המקבילים, עוסק במומנטי התמד של מסה ושל שטח. מומנט התמד (מדד להתנגדות לסיבוב) מציין כמה קשה לסובב גוף סביב ציר.
על פי המשפט, מומנט ההתמד סביב ציר s מקביל לציר שעובר דרך מרכז המסה שווה למומנט סביב מרכז המסה ועוד m r², כאשר m זו המסה ו-r המרחק בין הצירים. לנוסחה המקבילה עבור שטח יש A במקום m ו-I_c במקום I_{cm}:
I_s = I_{cm} + m r^2
I_s = I_{c} + A r^2
המשפט אנלוגי לפירוק תוחלות E(X^2)=V(X)+E(X)^2.
השימושים ברורים: אם יודעים את מומנט ההתמד סביב ציר ידוע, אפשר לחשב בקלות את מומנט ההתמד סביב ציר מקביל אחר. זאת עוזר גם כשמרכז המסה משתנה, למשל בהוספת או הסרת משקל. המשפט שימושי במכניקה תלת־ממדית, בסטטיקה ובהנדסה אזרחית ומכאנית. נתוני מומנטים סביב מרכז הכובד מופיעים לעיתים בטבלאות טכניות.
נמקם את ראשית הצירים במרכז המסה. אז מומנט ההתמד סביב מרכז המסה הוא
I_{cm} = \int (x^2 + y^2) dm
ומומנט סביב הציר המרוחק r הוא
I_s = \int [(x-r)^2 + y^2] dm.
פותחים את הריבוע ומקבלים I_s = I_{cm} + r^2\int dm - 2r\int x dm. האיבר השני הוא m r^2, והאיבר האחרון מתאפס כי \int x dm הוא אפס כש-x נמדד ממרכז המסה.
הכללה לתלת־ממד נכתבת באמצעות טנזור ההתמד J_{ij}. אם P נקודה כלשהי ו-G מרכז המסה, אז
J_{ij}=I_{ij} + m(\|PG\|^2 \delta_{ij}-PG_i PG_j).
כאן PG הוא הווקטור מ-P ל-G, ו-\delta_{ij} היא דלתא של קרונקר. במקרה שטנזור ההתמד אלכסוני, מתקבלת הצורה הפשוטה שלמעלה. וקטורים עצמיים של הטנזור הם הצירים הראשיים. בסימטריה סיבובית הצירים הראשיים חופפים לצירי הסיבוב.
המשפט מסביר איך לשנות "כמה קשה לסובב" דבר סביב ציר. "כמה קשה לסובב" קוראים לו מומנט התמד.
אם יודעים את המומנט סביב ציר שעובר במרכז הגוף, אפשר למצוא את המומנט סביב ציר מקביל שמרוחק מרחק r. מוסיפים למסור המסה את המסה כפול המרחק בריבוע. כך מחשבים במהירות מומנטים חדשים.
ההוכחה פשוטה. פותחים את הביטוי (x-r)² ומחברים חלקים. חלק אחד מתאפס כי מדדנו את x ממרכז המסה.
יש כלל גדול יותר לתלת־ממד. הוא משתמש בוקטורים כדי לטפל במצבים מסובכים יותר. במקרה פשוט הכלל החוזר הופך למה שלמעלה.
תגובות גולשים