משפט תאלס

בגאומטריה אוקלידית משפט תאלס קובע שאם קווים מקבילים חוצים את שוקי זווית, נוצרות קטעים ביחסים שווים. כלומר, אם DE מקביל ל-BC אז היחסים בין הקטעים המתאימים על שוקי הזווית שווים, למשל AD/DB = AE/EC. מתוך זה נובעים שוויונות נוספים כמו AB/AD = AC/AE ולפעמים גם BC/DE כשמתאים.

ההרחבה הראשונה אומרת שהיחס בין אורכי הקטעים בתוך שוקי הזווית שווה גם ליחס בין הקטעים שהמקבילים יוצרים בין השוקיים. בדוגמה עם DE מקביל ל-BC מתקיים AB/AD = AC/AE = BC/DE.

אם הקווים המקבילים נמצאים בצדדים נפרדים של קודקוד הזווית, המשפט עדיין נכון. כלומר, גם במצב שבו הקווים חוצים את השוקיים מצדדים שונים מתקבלים יחסים מקבילים דומים.

משתמשים ברעיון של שטחי משולשים. מעבירים קווים כמו BE ו-CD ובוחנים זוגות משולשים בעלי בסיס משותף או גבהים שווים כי DE מקביל ל-BC. משולשים בעלי אותו בסיס וגובה שווים בשטח. חיבור או חלוקה של השטחים מוביל לשוויונות בין אורכי הקטעים, ומשם מקבלים AD/DB = AE/CE ואז AD/DB = AE/CE ⇨ AD/DB = AE/CE ובדומה מתקבלים שאר היחסים.

משפט תאלס השני קובע: הזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה. כלומר, אם נקודות A, B, C נמצאות על מעגל והקו AC עובר דרך מרכז המעגל (AC הוא קוטר, קו שעובר דרך מרכז המעגל ומחבר שתי נקודות על המעגל), אז הזווית ב-B שווה ל-90 מעלות.

נסמן את מרכז המעגל ב-O. ההשוויון OA = OB = OC אומר שהמשולשים OAB ו-OBC הם שווי-שוקיים (שני צלעות שוות). מכאן נובעים שוויונות בזוויות בתוך המשולשים. סימון הזוויות וחקירת סכום הזוויות במשולש ABC מראה שסכום הזוויות שווה ל-180 מעלות, וממנו נגזר שכל זווית מול הקוטר היא בת 90 מעלות.

המשפט מנוסח גם כך: אם במשולש חסום במעגל אחת מצלעותיו היא קוטר, המשולש הוא ישר-זווית. ההפך גם כן נכון. זהו מקרה פרטי של כלל גדול יותר: הזווית המרכזית על מיתר היא כפולה מן הזווית ההיקפית על אותו מיתר.

משפט תאלס השני משמש לניתוח משולשים וחישוב זוויות במעגלים. המשפט הראשון משמש לחישובי יחסים בין קטעים ולתכונות של דמיון משולשים.

שמו של תאלס הוקצה לשני המשפטים במאה ה-19, כאשר היסטוריונים ומחנכים חיפשו שמות למשפטים מרכזיים. במדינות שונות בחרו במשפטים שונים לתואר "משפט תאלס" לפי גישות חינוכיות שונות: בצרפת וברוסיה נטתה הבחירה למשפט העוסק ביחסים בין קטעים, בעוד שבגרמניה בחרו במשפט הקשור למשולש ולמעגל. מדינות נוספות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו ספרד ובלגיה; מהגישה הגרמנית, אוסטריה והונגריה.

אם קו מקביל לחלק התחתון של זווית חותך את שתי השוקיים, הוא יוצר חלקים שמקיימים יחס זהה. למשל, כשהקו DE מקביל ל-BC, החלקים על השוקות שווים יחסית זה לזה.

גם אם הקווים המקבילים נמצאים בצדדים שונים של הקודקוד, העיקרון נשאר נכון. אפשר גם להשוות את היחסים עם הקטעים בין הקוים המקבילים.

ממשיכים קווים וחושבים שטחי משולשים. משולשים עם אותו גובה ובסיסים מתאימים יש להם שטח שווה. זה מוביל למסקנה שהאורכים עומדים ביחס שווה.

אם נקודות A, B, C על המעגל ו-AC הוא קוטר (קו שעובר דרך מרכז המעגל), אז הזווית ב-B היא זווית ישרה. זווית ישרה היא זווית של 90 מעלות.

מרכז המעגל O שווה מרחק מכל נקודה על המעגל. משולשים שווי-שוקיים נותנים זוויות שמהן מקבלים שסכום הזוויות שווה ל-180. לכן הזווית שנוגעת בקוטר היא 90 מעלות.

השם "תאלס" התחיל להופיע במאה ה-19. מדינות שונות בחרו להשתמש במשפטים שונים תחת השם הזה, לפי מה שלימדו שם.