נגזרת כיוונית

הנגזרת הכיוונית מודדת את קצב השינוי של פונקציה בעלת כמה משתנים כאשר נעים בכיוון של וקטור נתון. וקטור הוא חץ שמראה כיוון וגודל. הנגזרת הכיוונית של f בנקודה x בכיוון v מוגדרת על ידי הגבול
D_v f(x) := lim_{h->0} (f(x + h v) - f(x)) / h
כאשר |v| היא נורמת הווקטור, כלומר אורך הווקטור.
אם הגבול קיים, אומרים ש־f גזירה בכיוון v בנקודה x. יש פונקציות שלא גזורות בכל כיוון ולפעמים לא בכל נקודה.

הנגזרת הכיוונית היא ליניארית: עבור שתי פונקציות גזירות f ו־g וקבועים α ו־β, מתקיים
D_v(αf+βg)(x)=α D_v f(x)+β D_v g(x).
זה אומר שניתן לפרק סכום או קבוע מחוץ לנגזרת.

למכפלת פונקציות שקיימות להן נגזרות כיווניות יש כלל דומה לנגזרת רגילה:
D_v(fg)(x)=g(x)D_v f(x)+f(x)D_v g(x).

אם f גזירה בכיוון v ב־x וגם g גזירה בנקודה f(x), אז
D_v(g∘f)(x)=g'(f(x))·D_v f(x),
כאשר g' היא נגזרת הפונקציה g.

כאשר f דיפרנציאבילית (יש לה גרדיאנט), אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בעזרת הגרדיאנט ∇f:
D_v f = ∇f · (v/|v|) = ∇f · v̂.
כאן · היא מכפלה סקלרית, ו־v̂ הוא וקטור היחידה בכיוון v.

הנגזרת הכיוונית אומרת כמה פונקציה משתנה כשננוע בכיוון של חץ (וקטור). וקטור הוא חץ שמראה כיוון ואורך.
לוקחים נקודה x ומוסיפים מעט מהווקטור v, ובודקים את השינוי של הפונקציה ואז מחלקים בגודל התנועה.
האורך של הווקטור נקרא נורמה.
אם הגבול הזה קיים, אז הפונקציה גזירה בכיוון הזה.

הנגזרת בכיוון שומרת על חיבור וקבועים. כלומר אפשר לפרק סכום ולרבול קבועים.

למכפלת שתי פונקציות יש כלל: הנגזרת בכיוון של המכפלה שווה לסכום של אחת כפול נגזרת השנייה וההיפך.

אם יש לגרדיאנט (ווקטור של נגזרות לפי כל משתנה), אז הנגזרת הכיוונית מתקבלת כגרדיאנט כפול וקטור היחידה בכיוון.
ווקטור היחידה הוא הווקטור v מחולק באורכו.