נוסחת סטרלינג

נוסחת סטרלינג (על שם המתמטיקאי ג'יימס סטרלינג) היא קירוב לערך של n! (עצרת, 1×2×...×n) עבור ערכים גדולים של n.

הנוסחה המרכזית היא:

n! ≈ √(2πn) (n/e)^n

סימון אסימפטוטי אומר שהיחס בין שני האגפים שואף ל־1 כאשר n שואף לאינסוף. כתוצאה מכך מקבלים גם קירוב ללוגריתם של העצרת: ln(n!) ≈ n ln n − n.

הנוסחה מוחלת גם על פונקציית גמא, שהיא הרחבה של העצרת: Γ(n+1)=n!. בצורה כללית יש ביטוי מסוג

Γ(x)=√(2π) x^{x-1/2} e^{-x} e^{η(x)},

כאשר פונקציה η(x) קטנה, ובפרט עבור n גדולים e^{η(n)}≈1. כפל ב־n מחזיר את הביטוי המקורי ל־n!.

ההצדקה המתמטית מבוססת על קירוב אסימפטוטי של האינטגרל שמגדיר את פונקציית הגמא. בקצרה ניתן להסביר חלק מהרעיון כך:


לוקחים את ln(n!) ושמים אותו כסכום: ln(n!)=∑_{k=1}^n ln k. סכום זה מקובל לקרב על ידי אינטגרל של ln(x) מ־1 עד n, והאינטגרל נותן n ln n − n + 1.

כדי לשפר את הקירוב משתמשים בכלל הטרפז או בנוסחת אוילר, מקלורן. בעזרת חלוקת התחום לטרפזים ברוחב 1 מקבלים תיקון של −½ ln n, ובסופו של דבר

ln(n!) ≈ (n+½) ln n − n,

שמתרגם לנוסחה עם √n במקום לגורם החציוני. הקבוע המדויק √(2π) מופיע כשבוחנים תיקונים סדר גבוה ובניתוח של האינטגרל הגאוסיאני.


אברהם דה מואבר גילה קירוב מסוג n! ~ [קבוע]·n^{n+0.5} e^{-n}. תרומתו של סטרלינג הייתה להראות שהקבוע שווה למדויק ל־√(2π).

נוסחת סטרלינג עוזרת לחישוב בקירוב של n! .

עצרת (n!) פירושה 1×2×...×n. היא גדלה מהר מאוד.

הנוסחה אומרת שקיים ביטוי פשוט שמקרב את הערך הגדול הזה:

n! בערך = √(2πn) × (n/e)^n

זה אומר שהעצרת שווה בערך למשהו שמבוסס על n ועל המספר e.


הרעיון הוא להפוך את הכפולות לסכום של לוגריתמים. את הסכום מקרבים על ידי חישוב אינטגרל של ln(x).

אחר כך משפרים את הקירוב בעזרת חלוקת התחום לטרפזים. זה נותן את הגורם של √n ואת הקבוע √(2π).


ראשית דה מואבר מצא קירוב דומה. סטרלינג הראה שהקבוע המדויק הוא √(2π).