סדרה נורמלית

סדרה נורמלית של חבורה G היא שרשרת של תתי־חבורות כך שכל תת־חבורה היא נורמלית בתת־החבורה שקדמה לה. כלומר: G = G_0 ▷ G_1 ▷ … ▷ G_k, כאשר ▷ מסמל תת־חבורה נורמלית. תת־חבורה נורמלית היא תת־חבורה ש'מתנהגת היטב' תחת הצמדה על ידי איברים של החבורה (conjugation).

גורמי הסדרה הם חבורות המנה G_i/G_{i+1}, אלה ה'בלוקים' שמקבלים כשחולקים את הסדרה לשכבות. עידון של סדרה הוא הוספת תתי־חבורות באמצעים כך שמתקבלת שרשרת ארוכה יותר, כלומר הכנסת חבורה L בין G_i ל־G_{i+1} כשהיא שונה מהן.


סדרת הרכב היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב־{e} (האיבר היחיד) ואין אפשרות לעדן אותה בלי לחזור על תתי־חבורות. שקול שרשרת כזו כשרשרת שגורמיה הם חבורות פשוטות. חבורה פשוטה היא חבורה שאין לה תת־חבורות נורמליות שאינן טריוויאליות.

המשמעות המעשית של סדרות ההרכב היא חזקה: בגופים סופיים כל גורמי ההרכב של חבורה נתונה הם קבועים עד איזומורפיזם והחלפת סדר (זהו רעיון משפט ז'ורדן, הלדר). לבסוף, חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית שגורמיה הם חבורות אבליות (קומוטטיביות). אם חבורה אינה פתירה, בכל סדרת הרכב שלה יופיע גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

סדרה נורמלית היא שרשרת של תתי־חבורות. כל תת־חבורה בשרשרת מתאימה למסגרת שלפניה.

תת־חבורה נורמלית - תת־קבוצה שמתאימה היטב לכל איברי החבורה.

גורמי הסדרה הם החבורות שמתקבלות כשמחלקים שכבה אחת בשכבה שמתחתיה.


סדרת הרכב נגמרת באיבר היחיד {e}. אי־אפשר לפצל אותה יותר. כל הגורמים שלה הם חבורות פשוטות. חבורה פשוטה היא חבורה שלא ניתן לפצל אותה לתתי־חבורות נורמליות קטנות יותר.

אם מחליפים את סדר הפיצולים, בסוף מקבלים את אותן חבורות פשוטות, אולי בסדר שונה. חבורה פתירה היא כזאת שאפשר לפרק אותה לגורמים שהם חבורות שבחלוקה הן פשוטות ו'משתפות פעולה' (אבליות).