סינגולריות (מתמטיקה)

נקודה סינגולרית היא נקודה שבה האובייקט הנחקר מתנהג יוצא דופן. בדרך כלל זה מקום שבו פונקציה, בעיקר פונקציה מרוכבת, אינה מוגדרת היטב או אינה הולומורפית (לא ניתנת לגזירה מורכבת באזור). ניתן להתמקד בנקודות סינגולריות מבודדות, שמאפשרות מיון לפי פיתוח לטור לורן סביב הנקודה.

סינגולריות מבודדת נחלקות לשלושה סוגים עיקריים. אפשר לזהות את הסוג לפי איברי החזקה השלילית בטור לורן: אם אין איברים כאלה, הסינגולריות ניתנת להסרה; אם יש מספר סופי של איברים שליליים, זו קוטב; ואם יש אינסוף איברים שליליים, זו סינגולריות עיקרית.

סינגולריות סליקה (removable singularity) היא נקודה שבה הפונקציה שואפת לגבול סופי. אפשר "לסלק" אותה על ידי השלמת ערך מתאים בנקודה זו, ואז הפונקציה הופכת אנליטית בסביבה. דוגמה ידועה היא פונקציה שמקבלת ערך סופי במקום שבו החלוקה הייתה לא מוגדרת; ניתן להחליף את הערך בנקודה זו בערך הגורם לרציפות.

קוטב מסדר n הוא נקודה שבה הפונקציה מתבדרת לאינסוף. בטור לורן יש שם מספר סופי של איברים עם חזקות שליליות, והחזקה השלילית החזקה ביותר נקבעת כ'סדר הקוטב'. על ידי הכפלה בפקד (x-x0)^n אפשר לקבל גבול סופי לאפס. דוגמה טיפוסית היא פונקציה שמחולקת בחזקת שלישית סביב נקודה מסוימת.

בסינגולריות עיקרית אין כלל גבול, לא סופי ולא סופי־ערך. משפט קסורטי, ויירשטראס אומר כי קרוב לנקודה כזו, ערכי הפונקציה מתקרבים לכל מספר מרוכב אפשרי; תמונת כל סביבה שלה צפופה במישור המרוכב. בטור לורן יש אינסוף איברים עם חזקות שליליות. דוגמה קלאסית היא הפונקציה שמכילה 1 על המשתנה, כך שהתנהגותה סביב 0 אינה מתכנסת.

בנוגע למשוואות דיפרנציאליות ליניאריות, נקודות סינגולריות הן הנקודות שבהן המקדם של הנגזרת הגבוהה ביותר מתאפס. סביב נקודות כאלה מנסים למצוא פתרונות בטורים אינסופיים, שיטה הידועה כשיטת פרובניוס.

על יריעה אלגברית נקודה נקראת סינגולרית אם החוג המקומי שם אינו רגולרי. יריעה חסרת סינגולריות נקראת חלקה. עבור משטח אלגברי תלת־ממדי בעל פולינום ממעלה d קיים גבול על מספר נקודות הסינגולריות. הערכים הידועים של המספר המקסימלי μ(d) עבור d=1 עד 6 הם: 0, 1, 4, 16, 31, 65 בהתאמה. למשל, משטח קומר מסוים מגיע ל־16 נקודות סינגולריות, וזה המקסימום במעלה 4. ידוע גם על גבולות עבור d=7 ו־8, וכן על הערכה אסימפטוטית של μ(d)/d^3 הנמצאת בין ערכים הקרובים ל־4/9 ול־5/12.

באופן כללי בסכמה (מבנה אלגברי גנרי), נקודה סינגולרית מוגדרת כאשר החוג המקומי אינו חוג מקומי רגולרי. זו הניסוח הרחב שמאחד את ההגדרות האלגבריות.

באופן פשוט בתחום האלגברה הליניארית, אופרטור ליניארי או מטריצה נקראים רגולריים או לא־סינגולרים אם הם הפיכים. אם הם לא הפיכים, קוראים להם סינגולרים או לא־רגולריים.

נקודה סינגולרית, נקודה שבה פונקציה מתנהגת מוזר. בדרך כלל הפונקציה לא מוגדרת שם או לא נראית מסודרת.

יש שלוש תופעות עיקריות. אפשר להסיר חלק מהבעיות, יש נקודות שבהן הפונקציה הולכת לאינסוף, ויש נקודות שההתנהגות בהן פרועה ביותר.

זו נקודה שאפשר לתקן בקלות. מה שעושה בעיה בנקודה נחליף בערך שמתאים, והפונקציה הופכת חלקה.

בנקודת קוטב הפונקציה גדלה בלי bound. אם נכפיל אותה במספר מתאים, נקבל ערך סופי.

בנקודה כזו אין גבול כלל. קרוב לנקודה כזו הפונקציה יכולה לקבל בערך כל מספר.

כשמקדם הנגזרת החשובה ביותר מתאפס, זו נקודה סינגולרית. מנסים לפתור שם טורים מיוחדים.

על עקומים או משטחים יש לפעמים נקודות מיוחדות אלה. יש גבול למספר הסינגולריות לפי דרגת הפולינום. למשל, במעלה 4 אפשר לקבל עד 16 נקודות סינגולריות.

גם במושג הכללי של סכמה, נקודה סינגולרית היא כאשר המבנה המקומי לא מסודר.

מטריצה או אופרטור שקיימת לה הופכי נקראים לא סינגולריים. אם אין הופכי, קוראים להם סינגולריים.