ספירה (גאומטריה)

בגאומטריה ובטופולוגיה ספירה היא קבוצת כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המרכז) שווה לרדיוס, שהוא מספר חיובי. בספירה הדו־ממדית מדברים על שפתו של הכדור התלת־ממדי. באופן כללי, בסביבה n‑ממדית הספירה היא יריעה מממד n-1. את הספירה ה-n ממדית מסמנים ב‑S^n.

במרחב אוקלידי n‑ממדי הספירה היא כל הנקודות שהמרחק מהמרכז שווה ל‑r (הרדיוס). כאשר r=1 קוראים לה ספירת היחידה. המימד של הספירה במרחב n‑ממדי הוא n-1.

לספירה דו‑ממדית עם מרכז (x_0,y_0,z_0) ורדיוס r המשוואה המוכרת היא (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2. אפשר גם להשתמש בקואורדינטות ספריות (spherical coordinates), כל נקודה מתוארת בעזרת שתי זוויות, בדרך נוחה לתיאור נקודות על השפה של הכדור.

נקודות אנטיפודיות הן שתי נקודות הניצבות זו מול זו על הספירה כך שהקו העובד ביניהן עובר דרך המרכז. לכל נקודה יש נקודה אנטיפודית יחידה, והמרחק ביניהן הוא המרחק המקסימלי על הספירה. אנרגיית וילמור היא מדד לשינוי של משטח סגור ביחס לספירה דו־ממדית.

הספירה ה-n מוגדרת כשפתו של הכדור ה-(n+1)‑ממדי. למשל, הספירה החד‑ממדית היא המעגל, שפתו של העיגול. ספירת היחידה ה-n ממדית בראשית מתוארת כקבוצת הנקודות ב‑R^{n+1} שמרוכבותיהן ריבועית מסתכמות ל‑1. בכל שימוש מעשי כל הספירות ה‑n‑ממדיות דיפאומורפיות, ולכן לרוב מתייחסים לספירת היחידה.

לספירה דו‑ממדית (שפה של כדור תלת‑ממדי) שטח פנים A=4πr^2 ונפח הכדור הוא V=4/3·π·r^3. באופן כללי יותר יש נוסחאות עבור שטח הפנים ונפח הכדור התלויים בממד n, והן כוללות את פונקציית גמא של אוילר. נוסחאות אלו נותנות ביטויים שונים אם n זוגי או אי‑זוגי.

במרחב מטרי כללי ההגדרה נשמרת: הספירה S(x,r) היא אוסף הנקודות שדistantיהן מ‑x שווה ל‑r. סולמות כאלה עשויות להיות ריקות במרחבים בדידים, לדוגמה במרחב Z^2 לא תמיד קיימות נקודות עם מרחקים מסוימים.

קבוצה במרחב טופולוגי נקראת ספירה n‑ממדית אם היא הומאומורפית לספירה ה‑n במרחב האוקלידי. היא תהיה יריעה טופולוגית מממד n, אך לא תמיד חלקה. קיימות ספירות טופולוגיות חלקות שאינן דיפאומורפיות לספירה הסטנדרטית. אפיון קלין מתאר תכונה מיוחדת של הספירה הדו‑ממדית ביחס להפרדות על ידי מסילות רציפות.

(קטע זה במקור מציין הופעות של הספירה במקורות ספרותיים.)

ספירה היא כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה מנקודת מרכז. המרחק הקבוע הזה נקרא רדיוס. שפת הכדור היא ספירה.

אם יש כדור, השפה שלו היא הספירה. לדוגמה, המעגל הוא ספירה חד‑ממדית. כשהרדיוס שווה ל‑1 קוראים לזה ספירת היחידה.

במרחב התלת‑ממדי נקודה שייכת לספירה אם המרחק שלה מהמרכז שווה לרדיוס. אפשר לתאר נקודות על הספירה בעזרת שתי זוויות. זה מסייע למצוא כל נקודה על השפה.

נקודות אנטיפודיות הן שתי נקודות נגדיות על הספירה. אם אחד נמצא בצד אחד, השני נמצא בדיוק בצד ההפוך, והמרחק ביניהן הכי גדול שאפשר. יש מדדים מתמטיים בודקים עד כמה משטח דומה לספירה.

לכדור רגיל שטח הפנים גדול ביחס לרדיוס, והנפח בתוך הכדור גדל עם הרדיוס בחזקה שלוש. לדוגמה, לנפח ולשטח יש נוסחאות מפורסמות בעזרת המספר π, אבל אפשר להסתמך על הרעיון שהרדיוס משפיע חזק על הגדלים האלה.

ניתן לדבר על ספירות גם במחשבה מופשטת יותר. במרחבים כאלה הספירה מוגדרת כאוסף הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה לרדיוס. בחלק מהמרחבים ייתכן שלספירה אין נקודות כלל.

(יש גם דיבורים על ספירות בטופולוגיה ומאפיינים מיוחדים שלהן.)