סריג בגאומטריה הוא מבנה אינסופי מחזורי; הזזות בכיוונים מסוימים משאירות אותו זהה. מעבר לענין הגאומטרי, סריגים מופיעים בתורות מתמטיות שונות ויש להם יישומים בפיזיקה ובקריסטלוגרפיה.
למרות שהעולם הסופי, תהליכים טבעיים ותעשייתיים יוצרים מבנים דומים לסריגים. דוגמאות פשוטות הן נקודות מפגש של משבצות בדף או מרכזי תפוזים בערימה.
ניתן להגדיר סריג בכמה דרכים שקולות: כתת-קבוצה דיסקרטית של המרחב שאינה כלואה בתוך תת־מרחב מתאים; כתת-קבוצה שנוצרת על ידי מספר סופי של וקטורים; או כסכומים שלמים של בסיס של המרחב. ברעיון: בוחרים בסיס של וקטורים (כיוונים), ואז לוקחים מכל וקטור כמות שלמה (שלמים). התוצאה היא סריג. לכל סריג יש "מקבילון יסודי", היחידה שחוזרת על עצמה וממלאת את המרחב.
קבוע הרמיט משווה את אורך הצלע הקצרה של המקבילון לנפחו שלו. מכל ההגדרות נובע שסוגרת כולל את נקודת האפס; לעיתים גם הזזה של סריג נחשבת לסריג.
בהקשר של חבורות לי (Lie groups) וסדרות אלגבריות, סריג מוגדר כתת-חבורה דיסקרטית עם קו-נפח סופי. סריג קוקומפקטי נקרא גם סריג אוניפורמי; קיימים גם סריגים לא אוניפורמיים, לדוגמה הקבוצה SL_n(Z) בתוך SL_n(R), שחשובה בדינמיקה ובתורת המספרים. משפטים עמוקים כמו תוצאות של בורל-האריש-צ'אנדרה ומרגוליס מקשרים קבוצות של נקודות שלמות לבין סריגים, ובחבורות רבות כל הסריגים הן אריתמטיים (קרובים מאוד למערך של נקודות שלמות).
אם לוקחים מטריצה הפיכה L ששורותיה או עמודותיה הן וקטורי בסיס, אזי הסריג הוא הקבוצה של כל הכפלות L בוקטור עם רכיבים שלמים. החלפת בסיס על ידי מטריצה הפיכה בעלת קואופרטורים שלמים נותנת את אותו סריג עם מקבילון יסודי שונה. לכן מרחב כל הסריגים מתואר כמקוסטים של קבוצות מטריצות, והדטרמיננטה של L שווה לנפח המקבילון היסודי.
הסימטריות מתחלקות לשתי סוגות עיקריות: הזזות וסיבובים. הזזות שמשמרות את הסריג הן בדיוק וקטורי הסריג עצמו. סיבובים (או השיקוף) שומרים על נקודת האפס ומוגדרים באמצעות מטריצות אורתוגונליות. קבוצת הסיבובים ששומרת את הסריג היא חיתוך של תת־חבורה דיסקרטית עם חבורה קומפקטית, ולכן היא סופית. חבורת הסימטריות המלאה מתקבלת מההרכבה של סימטריות ההזזה והסיבוב.
קבוצה נקראת בדידה באחידות אם הנקודות לא קרובות מדי זו לזו, וצפופה יחסית אם אין אזורים גדולים בלי נקודות. קבוצה שמקיימת את שני התנאים נקראת קבוצת דלוני, וכל סריג הוא דלוני. קבוצה שמקיימת תכונה נוספת של הבדלים היא קבוצת Meyer. משפטי מבנה (כולל עבודות של Meyer ופר characterizations של Lagarias) מראים שקבוצות אלו קשורות ל"חיתוכים והקרנות" (cut-and-project) ומשמשות לתיאור ריצופים לא מחזוריים, למשל ריצוף פנרוז.
סריג הוא דפוס שחוזר על עצמו שוב ושוב עד אין־סוף. הזזה בכיוון מתאים תשאיר את הסריג בדיוק כמו קודם.
נקודות החיבור של משבצות על דף הן סריג. גם מרכזי תפוזים בערימה יוצרים דפוס שחוזר.
אפשר לבנות סריג כך: בוחרים כמה כיוונים (כמו חצים), ואז עושים צעד שלם בכל אחד מהם שוב ושוב. הקבוצה שנוצרת היא סריג. יש יחידה בסיסית, צורה שחוזרת וממלאת את החלל.
לסריג יש שתי סוגי סימטריות: הזזה (להזיז את כל הנקודות) וסיבוב סביב נקודה. הסימטריות של הסיבוב הן מוגבלות ויכולות להיות רק כמה בודדות.
קבוצה שנמצאת במרווחים סדירים ולא משאירה חלל גדול נקראת קבוצת דלוני. יש קבוצות מיוחדות כאלה, שנקראות קבוצות Meyer, שהן חשובות לתיאור דפוסים שאינם חוזרים בדיוק, כמו ריצוף פנרוז (דוגמה מפורסמת של דפוס לא מחזורי).
תגובות גולשים